如圖,平面直角坐標系中,已知點
(2,3),線段
垂直于
軸,垂足為
,將線段
繞點A逆時針方向旋轉
,點
落在點
處,直線
與
軸的交于點
.
(1)試求出點的坐標;
(2)試求經過、
、
三點的拋物線的表達式,并寫出其頂點E的坐標;
(3)在(2)中所求拋物線的對稱軸上找點,使得以點
、
、
為頂點的三角形與△
相似.
(1)點的坐標為(
,
).
設直線的表達式為
.
易得 解得
所以直線的表達式為
.
當時,
,
.
所以點的坐標為(
,
).
(2)設經過、
、
三點的拋物線的表達式
為(
)
易得
解得
因此,所求的拋物線的表達式為.
其頂點坐標為 (
,
).
(3)點在
的對稱軸(即直線
)上,所以設點
的坐標為(1,
).
由題意可得 ,
,
∴
,
.
所以若以、
、
為頂點的三角形與△
相似,
必有一個角的度數(shù)為
,
由此可得點必定在點
的上方,
,
所以當或
時,
以、
、
為頂點的三角形與△
相似.
由點(
,
)、
(
,
)、
(2,3)、
(
,
)易得
,
,
.
∴或
.
解得 或
.
故符合題意的點有兩個,其坐標為(1,5)或(1,6).
【解析】(1)已知A點坐標,根據(jù)AB的長以及線段AB的旋轉條件確定點C的坐標,利用待定系數(shù)法即可確定直線BC的解析式,進一步能求出點D的坐標.
(2)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式,通過配方能得到頂點E的坐標.
(3)首先畫出對應的圖形,根據(jù)A、B、C、D四點坐標,能判斷出∠ACD=135°,結合A、E的坐標,首先確定點F的大致位置,然后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例求出點F的坐標.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
1 | x |
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3 |
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a+2 |
S△CAD |
S△DGH |
AD |
GH |
FC+2AE |
3AM |
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