已知拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，并與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；
（2）在y軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）取點(diǎn)E（，0）和點(diǎn)F（0，），直線l經(jīng)過(guò)E、F兩點(diǎn)，點(diǎn)G是線段BD的中點(diǎn)．
①點(diǎn)G是否在直線l上，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在x軸上？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解：（1）在中，令y=0，則，整理得，4x2﹣12x﹣7=0，
解得x1=，x2=�！郃（，0），B（，0）。
在中，令x=0，則y= �！郈（0，）。
∵，∴頂點(diǎn)D（，﹣4）。
（2）在y軸正半軸上存在符合條件的點(diǎn)P。
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），
∵A（，0），C（0，），∴OA=，OC=，OP=y，
①若OA和OA是對(duì)應(yīng)邊，則△AOP∽△AOC，∴�！鄖=OC=，此時(shí)點(diǎn)P（0，）。
②若OA和OC是對(duì)應(yīng)邊，則△POA∽△AOC，∴，即。
解得y=，此時(shí)點(diǎn)P（0，）。
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，P（0，）或（0，）。
（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（，0）和點(diǎn)F（0，），
∴，解得，
∴直線l的解析式為。
∵B（，0），D（，﹣4），
∴，∴線段BD的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，﹣2）。
當(dāng)x=時(shí)，，∴點(diǎn)G在直線l上。
②在拋物線上存在符合條件的點(diǎn)M。

設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交點(diǎn)為H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（，0），
∵E（，0）、F（0，），B（，0）、D（，﹣4），
∴OE=，OF=，HD=4，HB=﹣=2。
∵，∠OEF=∠HDB，
∴△OEF∽△HDB。∴∠OFE=∠HBD。
∵∠OEF+∠OFE=90°，∴∠OEF+∠HBD=90°。
∴∠EGB=180°﹣（∠OEF+∠HBD）
=180°﹣90°=90°，
∴直線l是線段BD的垂直平分線。
∴點(diǎn)D關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)就是點(diǎn)B。
∴點(diǎn)M就是直線DE與拋物線的交點(diǎn)。
設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，
∵D（，﹣4），E（，0），
∴，解得。
∴直線DE的解析式為。
聯(lián)立，解得，。
∴符合條件的點(diǎn)M有兩個(gè)，是（，﹣4）或（，）。

解析試題分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程求出A、B的坐標(biāo)，令x=0求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即可求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。
（2）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出OA、OC的長(zhǎng)，再分OA和OA是對(duì)應(yīng)邊，OA和OC是對(duì)應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OP的長(zhǎng)，從而得解。
（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線l的解析式，再利用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后根據(jù)直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征驗(yàn)證即可。
②設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交點(diǎn)為H，求出OE、OF、HD、HB的長(zhǎng)，然后求出△OEF和△HDB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，從而得到直線l是線段BD的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)點(diǎn)D關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)就是B，從而判斷出點(diǎn)M就是直線DE與拋物線的交點(diǎn)。再設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析求出直線DE的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到符合條件的點(diǎn)M。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（0，4），C（2，0），將矩形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)1350，得到矩形EFGH（點(diǎn)E與O重合）.

（1）若GH交y軸于點(diǎn)M，則∠FOM＝      ，OM=        ；
（2）矩形EFGH沿y軸向上平移t個(gè)單位.
①直線GH與x軸交于點(diǎn)D，若AD∥BO，求t的值；
②若矩形EFHG與矩形OABC重疊部分的面積為S個(gè)平方單位，試求當(dāng)0<t≤時(shí)，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知，如圖(a)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)，C(0，－2)，其頂點(diǎn)為D.以AB為直徑的⊙M交y軸于點(diǎn)E、F，過(guò)點(diǎn)E作⊙M的切線交x軸于點(diǎn)N�！螼NE=30°，。

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）連結(jié)AD、BD,在（1）中的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△ABP與△ADB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）如圖（b）,點(diǎn)Q為上的動(dòng)點(diǎn)（Q不與E、F重合），連結(jié)AQ交y軸于點(diǎn)H，問(wèn)：AH·AQ是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸是直線l，l與x軸交于點(diǎn)H．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱(chēng)軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長(zhǎng)的最小值；
（3）如圖（2），若E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（ E與A、D不重合），過(guò)E點(diǎn)作平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，△ADF的面積為S．
①求S與m的函數(shù)關(guān)系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)C（0，1），頂點(diǎn)為Q（2，3），點(diǎn)D在x軸正半軸上，且OD=OC．

（1）求直線CD的解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）將直線CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E，求證：△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)P是線段QE上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OD上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，△PCF的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O(shè)為原點(diǎn)，OC、OA所在直線為軸建立坐標(biāo)系．拋物線頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．點(diǎn)P在線段AO上由A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)O在線段OC上由C向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，QD⊥OC交BC于點(diǎn)D，OD所在直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E′是E關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形OEAE′是菱形？
（3）點(diǎn)P、Q分別以每秒2個(gè)單位和3個(gè)單位的速度同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，PB∥OD？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，4），它與直線y2=x+1的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在給出的坐標(biāo)系中畫(huà)出拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）及直線y2=x+1的圖象，并根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出使得y1≥y2的x的取值范圍；
（3）設(shè)拋物線與x軸的右邊交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，交直線y2=x+1于點(diǎn)B，點(diǎn)P在拋物線上，當(dāng)S△PAB≤6時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍．

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（2013年浙江義烏10分）小明合作學(xué)習(xí)小組在探究旋轉(zhuǎn)、平移變換．如圖△ABC，△DEF均為等腰直角三角形，各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（，0），E（， 0），F(xiàn)（，）．
（1）他們將△ABC繞C點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)450得到△A1B1C．請(qǐng)你寫(xiě)出點(diǎn)A1，B1的坐標(biāo)，并判斷A1C和DF的位置關(guān)系；
（2）他們將△ABC繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)450，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上．請(qǐng)你求出符合條件的拋物線解析式；
（3）他們繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)將△ABC繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45，若旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上，則可求出旋轉(zhuǎn)后三角形的直角頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)P的所有坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（，0）和點(diǎn)B（1，），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，x軸上方的拋物線上，且∠BDA=∠DAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連接BD，交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)E，連接AE．
①判斷四邊形OAEB的形狀，并說(shuō)明理由；
②點(diǎn)F是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是直線BD的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M與點(diǎn)B不重合，當(dāng)∠BMF=∠MFO時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BM的長(zhǎng)．

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