Question

若關(guān)于x的方程k（x²-4）+ax-1=0對一切實(shí)數(shù)k都有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

解：∵關(guān)于x的方程k（x²-4）+ax-1=0，
∴kx²+ax-4k-1=0，
①當(dāng)k=0時，方程為ax-4k-1=0，
∵方程對一切實(shí)數(shù)k都有實(shí)數(shù)根，
∴a≠0；
②當(dāng)k≠0時，方程為一元二次方程，
∵方程對一切實(shí)數(shù)k都有實(shí)數(shù)根，
∴方程的判別式是非負(fù)數(shù)，
即△=a²+4k（4k+1）=a²+16k²+4k，
由一元二次方程有根的條件可得：a²+4k（4k+1）≥0時方程有實(shí)數(shù)解，
（1）當(dāng)k＞0時，上式必定成立，此時a可取任意值；
（2）當(dāng)k＜0時，上式a²+4k（4k+1）≥0中，a²≥0，4k＜0，考慮4k+1的正負(fù)性：
A：若4k+1＞0，即：-＜k＜0，
∴0＜4k（4k+1）＜1，
此時a可取任意值；
B：若4k+1＜0，
即：k＜-，
∴4k（4k+1）＞0，
此時a可取任意值；
C：若4k+1=0，
即：k=-，
∴4k（4k+1）=1，
此時a可取任意值；
綜上所述：只要a的值不為0即可．
分析：首先把方程整理為kx²+ax-4k-1=0，然后討論：
①當(dāng)k=0時，方程為ax-4k-1=0，由于方程對一切實(shí)數(shù)k都有實(shí)數(shù)根，所以根據(jù)一元一次方程的定義即可求出a的取值范圍；
②當(dāng)k≠0時，方程為一元二次方程，由于方程對一切實(shí)數(shù)k都有實(shí)數(shù)根，所以得到方程的判別式是非負(fù)數(shù)，由此即可求出a的取值范圍．
點(diǎn)評：此題主要考查了一元二次方程的判別式和方程的根的關(guān)系，也利用了分類討論的思想，題目對于學(xué)生分析問題、解決問題的能力要求比較高，平時應(yīng)該加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．