Question

如圖，已知拋物線過點A(0，6)，B(2，0)，C(7，)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)若D是拋物線的頂點，E是拋物線的對稱軸與直線AC的交點，F(xiàn)與E關(guān)于D對稱，求證：∠CFE＝∠AFE；

(3)在y軸上是否存在這樣的點P，使△AFP與△FDC相似，若有請求出所有和條件的點P的坐標(biāo)，若沒有，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)設(shè)拋物線解析式為y＝ax2＋bx＋c，將A、B、C三點坐標(biāo)代入，列方程組求拋物線解析式； 　　(2)求直線AC的解析式，確定E點坐標(biāo)，根據(jù)對稱性求F點坐標(biāo)，分別求直線AF，CF的解析式，確定兩直線與x軸的交點坐標(biāo)，判斷兩個交點關(guān)于拋物線對稱軸對稱即可； 　　(3)存在．由∠CFE＝∠AFE＝∠FAP，△AFP與△FDC相似時，頂點A與頂點F對應(yīng)，根據(jù)△AFP∽△FDC，△AFP∽△FCD，兩種情況求P點坐標(biāo)． 　　解答：(1)解：設(shè)拋物線解析式為y＝ax2＋bx＋c，將A、B、C三點坐標(biāo)代入，得 　　， 　　解得， 　　∴拋物線解析式為y＝x2－4x＋6； 　　(2)證明：設(shè)直線AC的解析式y(tǒng)＝mx＋n， 　　將A、C兩點坐標(biāo)代入，得，解得，∴y＝－x＋6， 　　∵y＝x2－4x＋6＝(x－4)2－2，∴D(4，－2)，E(4，4)， 　　∵F與E關(guān)于D對稱，∴F(4，－8)，則直線AF的解析式為y＝－x＋6，CF的解析式為y＝－22， 　　∴直線AF，CF與x軸的交點坐標(biāo)分別為(，0)，(，0)， 　　∵4－＝－4，∴兩個交點關(guān)于拋物線對稱軸x＝4對稱，∴∠CFE＝∠AFE； 　　(3)解：存在．設(shè)P(0，d)，則AP＝|6－d|，AF＝＝2， 　　FD＝－2－(－8)＝6，CF＝＝， 　　當(dāng)△AFP∽△FDC時，＝，即＝，解得d＝或－， 　　當(dāng)△AFP∽△FCD時，＝，即＝，解得d＝－2或14， 　　∴P點坐標(biāo)為(0，)或(0，－)或(0，－2)或(0，14)． 　　點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求拋物線解析式，根據(jù)拋物線的對稱性，相似三角形的知識解題．

提示：

考點：二次函數(shù)綜合題．