Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，折疊矩形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為AE．以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以AD所在的直線(xiàn)為x軸，AB所在的直線(xiàn)為y軸建立坐標(biāo)系.

（1）寫(xiě)出點(diǎn)B、D、E、F的坐標(biāo)；

（2）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)G，使△AFG是以AF為腰長(zhǎng)的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）B（0，－8），D（10，0），E（10，－5），F（6，－8）；（2）點(diǎn)G的坐標(biāo)為：（－10，0）或（10，0）或（0，－10）或（0，10）或（12，0）或（0，－16）.

【解析】

（1）由題意可得B，D坐標(biāo)，AD=AF=10cm，然后利用勾股定理求出BF可得F點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)EF=DE=x，在Rt△EFC中，利用勾股定理構(gòu)造方程求出EF=DE=5cm，可得E點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）分情況討論：①當(dāng)AF=AG時(shí)，②當(dāng)AF=FG時(shí)，分別利用AF=AG=10cm和點(diǎn)F坐標(biāo)求出所有符合題意的點(diǎn)G坐標(biāo)即可.

解：（1）∵AB=8cm，BC=10cm，

∴CD=8cm，AD=10cm，

∴B（0，－8），D（10，0），

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：AD=AF=10cm，

∴BF=cm，

∴F（6，－8），

設(shè)EF=DE=x，則EC=8-x，FC=BC-BF=4cm，

∴在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2，即x2=（8-x）2+42，

解得：x=5，

∴EF=DE=5cm，

∴E（10，－5），

綜上所述：B（0，－8），D（10，0），E（10，－5），F（6，－8）；

（2）∵AF=10cm，△AFG是以AF為腰長(zhǎng)的等腰三角形且點(diǎn)G在坐標(biāo)軸上，

∴①當(dāng)AF=AG=10cm時(shí)，

如圖所示：G1（－10，0），G2（10，0），G3（0，－10），G4（0，10）；

②當(dāng)AF=FG時(shí)，

∵F（6，－8），

∴G5（12，0），G6（0，－16），

綜上所述：點(diǎn)G的坐標(biāo)為：（－10，0）或（10，0）或（0，－10）或（0，10）或（12，0）或（0，－16）.