Question

已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．

(1)求此函數(shù)的解析式及圖象的對(duì)稱軸；

(2)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以每秒0.1個(gè)單位的速度沿線段BC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從O點(diǎn)出發(fā)以相同的速度沿線段OA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABPQ為等腰梯形；

②設(shè)PQ與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為M，過M點(diǎn)作x軸的平行線交AB于點(diǎn)N，設(shè)四邊形ANPQ的面積為S，求面積S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式，并指出t的取值范圍；當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值或最小值．

 

Answer 1

解：(1)∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0，-3)，

∴c =-3．

將點(diǎn)A(3，0)，B(2，-3)代入得

解得：a=1，b=-2．

∴．

配方得：，所以對(duì)稱軸為x=1．

(2) 由題意可知：BP= OQ=0.1t．

∵點(diǎn)B，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，

∴BC∥OA．

過點(diǎn)B，點(diǎn)P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分別為D，E．

要使四邊形ABPQ為等腰梯形，只需PQ=AB．

即QE=AD=1．

又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，

∴2-0.2t=1．

解得t=5．

即t=5秒時(shí)，四邊形ABPQ為等腰梯形．

②設(shè)對(duì)稱軸與BC，x軸的交點(diǎn)分別為F，G．

∵對(duì)稱軸x=1是線段BC的垂直平分線，

∴BF=CF=OG=1．

又∵BP=OQ，

∴PF=QG．

又∵∠PMF=∠QMG，

∴△MFP≌△MGQ．

∴MF=MG．

∴點(diǎn)M為FG的中點(diǎn)    

∴S=，

=．

由=．

．

∴S=．

又BC=2，OA=3，

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，需要20秒．

∴0<t≤20．

∴當(dāng)t=20秒時(shí)，面積S有最小值3．