Question

證明：對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形.如圖19-3-22，梯形ABCD中，對(duì)角線AC=BD.

求證：梯形ABCD是等腰梯形.

圖19-3-22

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：證明本題的關(guān)鍵是如何利用對(duì)角線相等的條件來(lái)構(gòu)造等腰三角形.在△ABC和△DCB中，已有兩邊對(duì)應(yīng)相等，要能證∠1=∠2，就可通過(guò)證△ABC≌△DCB得到AB=DC. 證明：過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E， 又 AD∥BC，∴ 四邊形ACED為平行四邊形，∴DE=AC. ∵ AC=BD， ∴ DE=BD，∴∠1=∠E.∵∠2=∠E， ∴∠1=∠2. 又AC=DB，BC=CE，∴△ABC≌△DCB.∴ AB=CD. ∴梯形ABCD是等腰梯形. 說(shuō)明：如果AC、BD交于點(diǎn)O，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD，即等腰梯形對(duì)角線相交，可以得到以交點(diǎn)為頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰三角形，這個(gè)結(jié)論雖不能直接引用，但可以為以后解題提供思路. 問(wèn)：能否有其他證法，引導(dǎo)學(xué)生作出常見(jiàn)輔助線，如右圖，作AE⊥BC，DF⊥BC，可證Rt△ABC≌Rt△CAE，得∠1=∠2.