Question

如圖：△ABC是等邊三角形，O是∠B、∠C兩角平分線的交點(diǎn)，EO⊥BO，F(xiàn)O⊥CO．求證：△AEF的周長等于BC的長．

Answer 1

證明：設(shè)OE=a，因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，且OB，OC平分∠ABC、∠ACB，所以BE=CF=2a，
由勾股定理得：OB=a，又因?yàn)镋O⊥BO，F(xiàn)O⊥CO，所以∠EOF=60°，
所以△EOF為等邊三角形，
∴∠OEF=∠OFE=∠EOF=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，
∴三角形AEF是等邊三角形，
∴AE=AF=EF=a，所以EF=OE=a，BC=3a，AE+AF+EF=AB-BE+AC-CF+EF=3a-2a+3a-2a+a=3a=BC．
即△AEF的周長等于BC的長．
分析：根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出∠EBO和∠FCO都等于30°，設(shè)OE=a，求出BE、CF，求出等邊三角形EOF，求出EF，求出等邊三角形AEF，求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形，夠多了等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出等邊三角形AEF、EOF是解此題的關(guān)鍵．