Question

拋物線y＝x²＋x＋m的頂點在直線y＝x＋3上，過點F(－2，2)的直線交該拋物線于點M、N兩點(點M在點N的左邊)，MA⊥x軸于點A，NB⊥x軸于點B．

(1)先通過配方求拋物線的頂點坐標(坐標可用含m的代數(shù)式表示)，再求m的值；

(2)設(shè)點N的橫坐標為a，試用含a的代數(shù)式表示點N的縱坐標，并說明NF＝NB；

(3)若射線NM交x軸于點P，且PA·PB＝，求點M的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

分析．(1)利用配方法將二次函數(shù)整理成頂點式即可，再利用點在直線上的性質(zhì)得出答案即可； 　　(2)首先利用點N在拋物線上，得出N點坐標，再利用勾股定理得出NF2＝NC2＋FC2，進而得出NF2＝NB2，即可得出答案； 　　(3)求點M的坐標，需要先求出直線PF的解析式．首先由(2)的思路得出MF＝MA，然后連接AF、FB，通過證明△PFA∽△PBF，利用相關(guān)的比例線段將PA·PB的值轉(zhuǎn)化為PF的值，進而求出點F的坐標和直線PF的解析式，即可得解． 　　解答．解：(1)y＝x2＋x＋m＝(x＋2)2＋(m－1) 　　∴頂點坐標為(－2，m－1) 　　∵頂點在直線y＝x＋3上， 　　∴－2＋3＝m－1， 　　得m＝2； 　　(2)∵點N在拋物線上， 　　∴點N的縱坐標為：a2＋a＋2， 　　即點N(a，a2＋a＋2) 　　過點F作FC⊥NB于點C， 　　在Rt△FCN中，F(xiàn)C＝a＋2，NC＝NB－CB＝a2＋a， 　　∴NF2＝NC2＋FC2＝(a2＋a)2＋(a＋2)2， 　　＝(a2＋a)2＋(a2＋4a)＋4， 　　而NB2＝(a2＋a＋2)2， 　�。�(a2＋a)2＋(a2＋4a)＋4 　　∴NF2＝NB2， 　　NF＝NB； 　　(3)連接AF、BF， 　　由NF＝NB，得∠NFB＝∠NBF，由(2)的結(jié)論知，MF＝MA， 　　∴∠MAF＝∠MFA， 　　∵MA⊥x軸，NB⊥x軸， 　　∴MA∥NB，∴∠AMF＋∠BNF＝180° 　　∵△MAF和△NFB的內(nèi)角總和為360°， 　　∴2∠MAF＋2∠NBF＝180°，∠MAF＋∠NBF＝90°， 　　∵∠MAB＋∠NBA＝180°， 　　∴∠FBA＋∠FAB＝90°， 　　又∵∠FAB＋∠MAF＝90°， 　　∴∠FBA＝∠MAF＝∠MFA， 　　又∵∠FPA＝∠BPF， 　　∴△PFA∽△PBF， 　　∴＝，PF2＝PA×PB＝， 　　過點F作FG⊥x軸于點G，在Rt△PFG中， 　　PG＝＝， 　　∴PO＝PG＋GO＝， 　　∴P(－，0) 　　設(shè)直線PF：y＝kx＋b，把點F(－2，2)、點P(－，0)代入y＝kx＋b， 　　解得k＝，b＝， 　　∴直線PF：y＝x＋， 　　解方程x2＋x＋2＝x＋， 　　得x＝－3或x＝2(不合題意，舍去)， 　　當x＝－3時，y＝， 　　∴M(－3，)． 　　點評．考查了二次函數(shù)綜合題，在該二次函數(shù)綜合題中，融入了勾股定理、相似三角形等重點知識，(3)題通過構(gòu)建相似三角形將PA·PB轉(zhuǎn)化為PF的值是解題的關(guān)鍵，也是該題的難點．

提示：

考點．二次函數(shù)綜合題．