【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,點P是AB邊上的一個動點,連接CP,過點P作PC的垂線交AD于點E,以 PE為邊作正方形PEFG,頂點G在線段PC上,對角線EG、PF相交于點O.
(1)若AP=1,則AE= ;
(2)①求證:點O一定在△APE的外接圓上;
②當點P從點A運動到點B時,點O也隨之運動,求點O經過的路徑長;
(3)在點P從點A到點B的運動過程中,△APE的外接圓的圓心也隨之運動,求該圓心到AB邊的距離的最大值.
【答案】(1);(2)①證明見解析;②;(3).
【解析】試題分析:(1)由正方形的性質得出∠A=∠B=∠EPG=90°,PF⊥EG,AB=BC=4,∠OEP=45°,由角的互余關系證出∠AEP=∠PBC,得出△APE∽△BCP,得出對應邊成比例即可求出AE的長;
(2)①A、P、O、E四點共圓,即可得出結論;
②連接OA、AC,由勾股定理求出AC=,由圓周角定理得出∠OAP=∠OEP=45°,周長點O在AC上,當P運動到點B時,O為AC的中點,即可得出答案;
(3)設△APE的外接圓的圓心為M,作MN⊥AB于N,由三角形中位線定理得出MN=AE,設AP=x,則BP=4﹣x,由相似三角形的對應邊成比例求出AE的表達式,由二次函數(shù)的最大值求出AE的最大值為1,得出MN的最大值=即可.
試題解析:(1)∵四邊形ABCD、四邊形PEFG是正方形,
∴∠A=∠B=∠EPG=90°,PF⊥EG,AB=BC=4,∠OEP=45°,
∴∠AEP+∠APE=90°,∠BPC+∠APE=90°,
∴∠AEP=∠PBC,∴△APE∽△BCP,
∴,即,解得:AE=,
故答案為: ;
(2)①∵PF⊥EG,∴∠EOF=90°,
∴∠EOF+∠A=180°,∴A、P、O、E四點共圓,
∴點O一定在△APE的外接圓上;
②連接OA、AC,如圖1所示:
∵四邊形ABCD是正方形,∴∠B=90°,∠BAC=45°,∴AC==,
∵A、P、O、E四點共圓,∴∠OAP=∠OEP=45°,
∴點O在AC上,當P運動到點B時,O為AC的中點,OA=AC=,
即點O經過的路徑長為;
(3)設△APE的外接圓的圓心為M,作MN⊥AB于N,如圖2所示:
則MN∥AE,∵ME=MP,∴AN=PN,∴MN=AE,
設AP=x,則BP=4﹣x,由(1)得:△APE∽△BCP,
∴,即,解得:AE= =,
∴x=2時,AE的最大值為1,此時MN的值最大=×1=,
即△APE的圓心到AB邊的距離的最大值為.
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【題目】按下列程序計算,把答案填寫在表格里,然后看看有什么規(guī)律,想想為什么會有
這個規(guī)律?
(1)填寫表內空格:
輸入 | 3 | 2 | -2 | … | |
輸出答案 | 0 | … |
(2)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是____________.
(3)用簡要過程說明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的正確性.
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【題目】下列說法中正確的有( )
①延長直線AB ②延長線段AB ③延長射線AB
④畫直線AB=5cm ⑤在射線AB上截取線段AC,使AC=5cm
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】(12分)如圖,以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓,經過A、B兩點,且與BC邊交于點E,D為BE的下半圓弧的中點,連接AD交BC于F,AC=FC.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)已知圓的半徑R=5,EF=3,求DF的長.
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【題目】我們規(guī)定:三角形任意兩邊的“極化值”等于第三邊上的中線和這邊一半的平方差.如圖1,在△ABC中,AO是BC邊上的中線,AB與AC的“極化值”就等于AO2﹣BO2的值,可記為AB△AC=AO2﹣BO2.
(1)在圖1中,若∠BAC=90°,AB=8,AC=6,AO是BC邊上的中線,則AB△AC= ,OC△OA= ;
(2)如圖2,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,求AB△AC、BA△BC的值;
(3)如圖3,在△ABC中,AB=AC,AO是BC邊上的中線,點N在AO上,且ON=AO.已知AB△AC=14,BN△BA=10,求△ABC的面積.
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【題目】有一列數(shù),按一定規(guī)律排列成1,﹣3,9,﹣27,81,﹣243,…,其中某三個相鄰數(shù)的和是﹣1701,這三個相鄰數(shù)中的第一個數(shù)為__.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點E,點P在⊙O上,PB與CD交于點F,∠PBC=∠C.
(1)求證:CB∥PD;
(2)若∠PBC=22.5°,⊙O的半徑R=2,求劣弧AC的長度.
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