Question

如圖，在等腰△ABC中，CH是底邊上的高線，點P是線段CH上不與端點重合的任意一點，連接AP交BC于點E，連接BP交AC于點F.

（1）證明：∠CAE＝∠CBF；

（2）證明：AE＝BF；

（3）以線段AE，BF和AB為邊構成一個新的三角形ABG（點E與點F重合于點G），記△ABC和△ABG的面積分別為S_△ABC和S_△ABG，如果存在點，能使得S_△ABC＝S_△ABG ，求∠C的取值范圍.

Answer 1

（1）∵△是等腰△，是底邊上的高線，∴，

    又∵，∴△ ≌△，

    ∴，即;                     ……4分

   （2）∵，，,

    ∴△ ≌△，∴;                         ……4分

   （3）由（2）知△是以為底邊的等腰△，∴ 等價于，

    1）當∠為直角或鈍角時，在△中，不論點在何處，均有，所以結論不成立;

    2）當∠為銳角時， ∠，而，要使，只需使∠ =∠，此時，∠180°–2∠，

    只須180°–2∠∠，解得 60°∠ 90°.   …… 4分

   （也可在中通過比較和的大小而得到結論）