Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A，它的對稱軸x=2與x軸交于點(diǎn)C，直線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B（-2，m），且與y軸、直線x=2分別交于點(diǎn)D、E，
（1）求m的值及該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求證：①CB=CE；②D是BE的中點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）將B點(diǎn)代入直線解析式得出m的值，然后得出點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可．
（2）過點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)H，則可得BH=2，HF=2，繼而由DH∥EF，可得出DH是△BEF的中位線，從而①、②均可得證．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B（-2，m）在直線y=-2x-1上，
∴m=-2×（-2）-1=3，
由題意得，二次函數(shù)的對稱軸為x=2，
則可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），
設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=ax²+bx，
則可得：

16a+4b=0 4a-2b=3

，
解得：

a= 1 4 b=-1

，
故拋物線的解析式為：y=

1

4

x²-x．

（2）過點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)H，

∵點(diǎn)E是x=2與y=-2x-1的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，-5），
故可得CE=5，
根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)可得BH=2，CF=3，HF=2，
則BC=

BF2+CF2

=5，
即可得CB=CE．
又∵HD∥EF，BH=HF=2，
∴DH是△BEF的中位線，
即可得D是BE的中點(diǎn)．

點(diǎn)評：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形中位線的性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長度的轉(zhuǎn)化，綜合性較強(qiáng)，解答本題注意各知識點(diǎn)的融會貫通．