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如圖,△ABC中,點(diǎn)P是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F.
(1)求證:PE=PF;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí),四邊形AECF可能是矩形嗎?說(shuō)明理由;
(3)若在AC邊上存在點(diǎn)P,使四邊形AECF是正方形,且.求此時(shí)∠BAC的大小.

【答案】分析:(1)可證明PE=PC,PF=PC,從而得到PE=PF;
(2)由一對(duì)鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直,得出∠ECF=90°,故要使四邊形AECF是矩形,只需四邊形AECF是平行四邊形即可.由(1)知PE=PF,則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC邊中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形.
(3)由正方形的對(duì)角線相等且互相垂直,可知AC⊥EF,AC=2AP.又EF∥BC,得出AC⊥BC,在直角△ABC中,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值求出∠A的大小.
解答:(1)證明:∵CE平分∠BCA,
∴∠BCE=∠ECP,
又∵M(jìn)N∥BC,
∴∠BCE=∠CEP,
∴∠ECP=∠CEP,
∴PE=PC;
同理PF=PC,
∴PE=PF;

(2)解:當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC邊中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形.理由如下:
由(1)可知PE=PF,
∵P是AC中點(diǎn),
∴AP=PC,
∴四邊形AECF是平行四邊形.
∵CE、CF分別平分∠BCA、∠ACD,
且∠BCA+∠ACD=180°,
∴∠ECF=∠ECP+∠PCF=(∠BCA+∠ACD)=×180°=90°,
∴平行四邊形AECF是矩形;

(3)解:若四邊形AECF是正方形,則AC⊥EF,AC=2AP.
∵EF∥BC,
∴AC⊥BC,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,
∴tan∠BAC===,
∴∠BAC=30°.
點(diǎn)評(píng):此題綜合考查了平行線的性質(zhì),等腰三角形的判定,矩形的判定,正方形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn),難度較大.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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同步練習(xí)冊(cè)答案
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