Question

已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分別以O(shè)B、OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），過(guò)F點(diǎn)的反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象與AC邊交于點(diǎn)E．現(xiàn)進(jìn)行如下操作：將△CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB上的D點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥OB，垂足為M點(diǎn)．
（1）用含有k的代數(shù)式表示：E（

 

），F(xiàn)（

 

）；
（2）求證：△MDE∽△FBD，并求

ED

DF

的值；
（3）求出F點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）易得E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，把它們分別代入反比例函數(shù)y=

k

x

即可得到E點(diǎn)和F點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠EDF=∠C=90°，EC=ED，CF=DF，易證Rt△MED∽R(shí)t△BDF；而EC=AC-AE=4-

k

3

，CF=BC-BF=3-

k

4

，得到ED=4-

k

3

，DF=3-

k

4

，即可得

ED

DF

的比值；
（3）由（2）的結(jié)論可得EM：DB=ED：DF=4：3，而EM=3，從而求出BD，然后在Rt△DBF中利用勾股定理得到關(guān)于k的方程，解方程求出k的值即可得到F點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：（1）解：E（

k

3

，3），F(xiàn)（4，

k

4

）；

（2）證明：∵將△CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB上的D點(diǎn)處，
∴∠EDF=∠C=90°，EC=ED，CF=DF，
∴∠MDE+∠FDB=90°，
而EM⊥OB，
∴∠MDE+∠MED=90°，
∴∠MED=∠FDB，
∴Rt△MED∽R(shí)t△BDF；
又∵EC=AC-AE=4-

k

3

，CF=BC-BF=3-

k

4

，
∴ED=4-

k

3

，DF=3-

k

4

，
∴

ED

DF

=

4- k 3

3- k 4

=

4

3

；

（3）解：∵EM：DB=ED：DF=4：3，而EM=3，
∴DB=

9

4

，
在Rt△DBF中，DF²=DB²+BF²，即（3-

k

4

）²=（

9

4

）²+（

k

4

）²，
解得k=

21

8

，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

21

8x

，
把x=4代入得y=

21

32

，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，

21

32

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)：點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，則點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理以及三角形相似的判定與性質(zhì)．