Question

【題目】如圖①，點O是線段AD上一動點（不與點A、D重合），分別以AO和DO為邊在AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC、BD相交于點E，連結(jié)OE.

（1）當(dāng)點O為AD的中點時，求∠DEA的度數(shù)；

（2）在（1）的條件下，△ADE是軸對稱圖形嗎？如果是，指出它的對稱軸；如果不是，說明理由；

（3）當(dāng)點O不在AD的中點時，求證EO平分∠DEA．

圖① 圖②

Answer 1

【答案】（1）∠DEA=120°（2）△ADE是軸對稱圖形，它的對稱軸是直線OE（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)已知三角形OAB和三角形OCD為等邊三角形，AD=OD，可知，∠BAO=60°即可求出∠BDA 的度數(shù)，同理可求出∠CAD 的度數(shù)，后可得出∠DEA的度數(shù).

（2）根據(jù)已知條件可以證明ΔEDO≌ΔEAO，即可得出△ADE是軸對稱圖形，它的對稱軸是直線OE .

（3）根據(jù)已知條件可證ΔAOC≌ΔBOD，結(jié)合三角形面積公式可知點O到BD,AC的距離相等，即可證得EO平分∠DEA.

（1）為等邊三角形且點O為AD的中點

根據(jù)三角函數(shù)可知，即

同理可求得

三角形內(nèi)角和為，且，

（2）為等邊三角形且點O為AD的中點, ,

可證ΔEDO≌ΔEAO（SAS）

可得出△ADE是軸對稱圖形，它的對稱軸是直線OE .

（3）為等邊三角形

∴可得OD=OC,OB=OA,

∴可證△AOC≌△BOD（SAS）

∴，AC＝BD

，AC＝BD

∴點O到AC、BD的距離相等(兩個三角形全等，且底相等，高必然相等)

∴點O在∠DEA的角平分線上

即EO平分∠DEA