(2009•杭州)已知平行于x軸的直線y=a(a≠0)與函數(shù)y=x和函數(shù)y=的圖象分別交于點A和點B,又有定點P(2,0).
(1)若a>0,且tan∠POB=,求線段AB的長;
(2)在過A,B兩點且頂點在直線y=x上的拋物線中,已知線段AB=,且在它的對稱軸左邊時,y隨著x的增大而增大,試求出滿足條件的拋物線的解析式;
(3)已知經(jīng)過A,B,P三點的拋物線,平移后能得到y(tǒng)=x2的圖象,求點P到直線AB的距離.
【答案】分析:(1)設B點坐標為(m,n),利用三角函數(shù)求出m與n的值以及點A的坐標.
(2)依題意可知拋物線開口向下,設點A(a,a),B(,a)求出a值.設二次函數(shù)為y=k(x+把點A代入求得k值以及函數(shù)解析式.
(3)依題意可求出拋物線的對稱軸為x=+.把點A的坐標代入解析式求出a值.
解答:解:(1)設第一象限內的點B(m,n),
則tan∠POB=,
得m=9n,
又點B在函數(shù)y=的圖象上,得n=
所以m=3(-3舍去),
點B為(3,),
而AB∥x軸,所以點A(,),
所以AB=3-

(2)由條件可知所求拋物線開口向下,
設點A(a,a),B(,a),
則AB=-a=
所以3a2+8a-3=0,
解得a=-3或a=
當a=-3時,點A(-3,-3),B(-,-3),
因為頂點在y=x上,
所以頂點為(-,-),
所以可設二次函數(shù)為y=k(x+2-
點A代入,解得k=-,
所以所求函數(shù)解析式為y=-(x+2-
同理,當a=時,所求函數(shù)解析式為y=-(x-2+;

(3)設A(a,a),B(,a),由條件可知拋物線的對稱軸為x=+,
設所求二次函數(shù)解析式為:y=(x-2)(x-(a+)+2),
點A(a,a)代入,
解得a1=3,,
所以點P到直線AB的距離為3或
點評:本題考查的是二次函數(shù)的綜合運用,較為復雜.
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