Question

14．如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過點A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于點E；若B，C在DE的同側（如圖所示）且AD=CE．求證：AB⊥AC．

Answer 1

分析 證明ABD≌△ACE，再利用角與角之間的關系求證∠BAD+∠CAE=90°，即可證明AB⊥AC；

解答 證明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質；證明三角形全等是解決問題的關鍵．