Question

提出問(wèn)題：爸爸出差回家?guī)Я艘粋�(gè)分布均勻的等腰三角形蛋糕禮物給兒子（如圖1，AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，雙胞胎兒子大毛和小毛決定只切一刀將這塊蛋糕平分吃（要求分得的蛋糕和巧克力質(zhì)量都一樣）．

背景介紹：這條分割直線(xiàn)即平分了三角形的面積，又平分了三角形的周長(zhǎng)，我們稱(chēng)這條線(xiàn)為三角形的“等分積周線(xiàn)”．
嘗試解決：
（1）大毛很快就想到了一條分割直線(xiàn)，而且用尺規(guī)作圖作出．請(qǐng)你幫大毛在圖1中作出這條“等分積周線(xiàn)”，從而平分蛋糕．
（2）小毛覺(jué)得大毛的方法很好，所以自己模仿著在蛋糕上過(guò)點(diǎn)C畫(huà)了一條直線(xiàn)CD交AB于點(diǎn)D．你覺(jué)得小毛會(huì)成功嗎？如能成功，說(shuō)出確定的方法；如不能成功，請(qǐng)說(shuō)明理由．（用圖2說(shuō)明）
（3）若AB=BC=5cm，AC=6cm，如圖3，你能找出幾條△ABC的“等分積周線(xiàn)”，請(qǐng)分別畫(huà)出，并簡(jiǎn)要說(shuō)明確定的方法．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，作線(xiàn)段AC的中垂線(xiàn)BD即可．
（2）小毛不會(huì)成功．直線(xiàn)CD可能平分△ABC的面積，若也平分周長(zhǎng)，則AC=BC，與題中的AC≠BC沖突，故不會(huì)成功；
（3）①若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)，則AC邊上的中垂線(xiàn)即為所求．
②若直線(xiàn)不過(guò)頂點(diǎn)，可分以下三種情況考慮：（a）直線(xiàn)與BC、AC分別交于E、F，CF=5，CE=3；（b）直線(xiàn)與AB、AC分別交于M、N，AM=3，AN=5，（c）直線(xiàn)與AB、BC分別交于P、Q，此種情況不存在．則符合條件的直線(xiàn)共有三條．

解答：解：（1）作線(xiàn)段AC的中垂線(xiàn)BD即可．

（2）小毛不會(huì)成功．
若直線(xiàn)CD平分△ABC的面積，那么S_△ADC=S_△DBC．
如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．
則 

1

2

AD•CE=

1

2

BD•CE
則BD=AD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC
∴小毛不會(huì)成功．

（3）分類(lèi)討論：
①如圖3，若分割直線(xiàn)經(jīng)過(guò)△ABC頂點(diǎn)，由（1）（2）可知，只有過(guò)等腰三角形的頂角頂點(diǎn)的直線(xiàn)是才可能為“等分積周線(xiàn)”，
即底AC邊上的中垂線(xiàn)BD為此時(shí)△ABC的“等分積周線(xiàn)”．
②若分割直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)△ABC頂點(diǎn)，則分割直線(xiàn)將ABC分割為一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形．可分以下三種情況：
（a）直線(xiàn)EF與BC、AC分別交于E、F，如圖4所示．

若直線(xiàn)EF平分三角形的周長(zhǎng)16，則CF與CE的和是8．
設(shè)CF=x，則CE=8-x．CB=5，CG=3，BG=

52-32

=4，
∵EH∥BG，
∴△CEH∽△CBG，
∴

EH

BG

=

EC

BC

，
∴

EH

4

=

8-x

5

，
EH=

4

5

(8-x)，
若分割的兩部分面積相等，則
S_△CEF=6，
即

1

2

•x•

4

5

(8-x)=6，
解得x=3（舍去，即為①）或x=5，
∴當(dāng)CF=5，CE=3時(shí)，直線(xiàn)EF即為所求△ABC的一條“等分積周線(xiàn)”．
（b）若直線(xiàn)E₁F₁與AB、AC分別交于E₁、F₁，如圖5所示．

由a同理可得，當(dāng)A E₁=3，A F₁=5，直線(xiàn)E₁F₁即為所求△ABC的一條“等分積周線(xiàn)”．
（c）若直線(xiàn)PQ與AB、BC分別交于P、Q，如圖6所示．

設(shè)BQ=x，則BP=8-x．
∵AG×5=4×6，
∴AG=

24

5

，
∵PH∥AG，
∴△PHB∽△AGB，
∴

PH

AG

=

BP

AB

，
∴

PH

24 5

=

8-x

5

，
PH=

24

25

(8-x)
若分割的兩部分面積相等，則
S_△PBQ=6，
即

1

2

•x•

24

25

(8-x)=6，
整理可得出：2x ²-16x+25=0，
解得：x₁=

8+ 14

2

＞5（舍去），x₂=

8- 14

2

，
而當(dāng)BQ=

8- 14

2

時(shí)，BP=

8+ 14

2

＞5，應(yīng)舍去．
故此種情況不存在．
綜上所述，符合條件的直線(xiàn)共有三條，直線(xiàn)BD、直線(xiàn)EF、直線(xiàn)E₁F₁．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想得出是解題關(guān)鍵．