Question

如圖，M為⊙O上的一點(diǎn)，⊙M與⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，P為⊙O上任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別交⊙M于C、D兩點(diǎn)，直線CD交⊙O于E、F兩點(diǎn)，連接PE、PF、BC，下列結(jié)論，其中正確的有（ ）
①PE=PF；②PE²=PA•PC；③EA•EB=EC•ED；④（其中R、r分別為⊙O、⊙M的半徑）

A．①②③
B．①②④
C．②④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：首先利用圓周角定理以及三角形的外角證明∠F=∠PEF，即可得出PE=PF，再利用圓周角定理證明△PAE∽△PEC，得出PE²=PA•PC，作直徑CH，PN，得出△BCH∽△BPN，
即可得出===，最后證明PC=PB，得出=，即EA•EB=EC•ED．
解答：解：連接AB，
∵=，
∴∠APE=∠ABE，
∵∠PEF=∠ACD+∠APE，
=∠ABP+∠ABE，
=∠PBE，
∵=，
∴∠F=∠PBE，
∴∠F=∠PEF，
∴PE=PF，故①選項(xiàng)正確；

∵=，
∴∠ABP=∠AEP，
∵=，
∴∠ABP=∠ACD，
∴∠AEP=∠ACD，
∵∠APE=∠APE，
∴△PAE∽△PEC，
∴=，
∴PE²=PA•PC，故②正確；

作直徑CH，連接BH，∴∠CBH=90°，
作直徑PN，連接BN，∴∠PBN=90°，
∴∠CBH=∠PBN，
∵=，
∴∠BAC=∠H，
∵∠BAC=∠N（圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角），
∴∠H=∠N，
△BCH∽△BPN，
∴===，故此④選項(xiàng)正確；

如圖（2）連接MA，MB，MC，
∴MA=MB=MC，
設(shè)∠MAC=∠MCA=α，
∠MCB=∠MBC=β，
∠MAB=∠MBA=γ，
∵==，
∴∠MAB=∠MBA=∠APB，
∴∠APB=2γ，
∴∠CAB=∠APB+∠ABP，
α+γ=2γ+∠ABP，
∴∠ABP=α-γ，
∴∠PBC=∠ABP+∠ABC=α-γ+β+γ=α+β，
∴∠PCB=α+β，∴∠PBC=∠PCB，
∴PC=PB，
如圖（1）∵PE=PF，PE²=PA•PC=PD•PB，
∴PE•PF=PD•PC，
∴=，
∵△PAE∽△PEC，
∴=，
∵△BDE∽△FDP，
∴=，
∴=，
∴=，
∴EA•EB=EC•ED，
∴③選項(xiàng)正確，
故①②③④都正確，
故選：D．
點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理和圓內(nèi)有關(guān)性質(zhì)等知識，根據(jù)已知的作出連接兩圓交點(diǎn)的輔助線利用三角形相似得出是解題關(guān)鍵，此題難度較大．