Question

（2013•甘井子區(qū)一模）如圖，頂點為D的拋物線y=a（x-5）²-6經過點A（

13

2

，-5），直線CD交y軸于點C（0，4），交x軸于點B．
（1）求拋物線和直線CD解析式；
（2）在直線CD右側的拋物線上取點E，使得∠EDB=∠CBO，則求點E坐標；
（3）點P為射線CD上一點，在（2）條件下，作射線PE，以P為旋轉中心逆時針旋轉PE，使得旋轉后的射線交x坐標軸于點R，且∠EPR=∠CBO．是否存在點R，使得PE=PR？如果存在，請直接寫出點R坐標；不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點A（

13

2

，-5）代入y=a（x-5）²-6，求出a=

4

9

，即可得到拋物線的解析式；設直線CD解析式為y=kx+b，將D（5，-6），C（0，4）兩點的坐標代入，運用待定系數法即可求出直線CD的解析式；
（2）延長DE交x軸于點M，作DH⊥x軸于點H．先證明∠EDB=∠MBD，得出MB=MD，設點M的坐標為（t，0），由于B（2，0），D（5，-6），所以t-2=

(t-5)2+36

，解方程求出t=

19

2

，得到M點的坐標為（

19

2

，0），運用待定系數法求出DM的解析式為y=

4

3

x-

38

3

，由于點E為直線DM和拋物線的交點，解方程組

y= 4 3 x- 38 3 y= 4 9 x2- 40 9 x+ 46 9

，即可求出點E坐標；
（3）設R（m，0）．先根據兩點間的距離公式求得DE=5，利用AAS證明△BRP≌△DPE，得出BP=DE=5，BR=DP，再根據兩點間的距離公式求得BD=3

5

，則BR=PD=3

5

-5，由BR=DP得出方程m-2=3

5

-5，解方程求出m的值，得到點R坐標，由此得出結論：在（2）條件下，存在點R，能夠使得PE=PR．

解答：解：（1）將點A（

13

2

，-5）代入y=a（x-5）²-6，
得-5=a（

13

2

-5）²-6，解得a=

4

9

，
所以拋物線解析式為：y=

4

9

（x-5）²-6，即y=

4

9

x²-

40

9

x+

46

9

；
設直線CD解析式為y=kx+b，
∵D（5，-6），C（0，4），
∴

5k+b=-6 b=4

，解得

k=-2 b=4

，
∴直線CD解析式為y=-2x+4；

（2）延長DE交x軸于點M，作DH⊥x軸于點H．
∵∠EDB=∠CBO，∠CBO=∠MBD，
∴∠EDB=∠MBD，
∴MB=MD．
設點M的坐標為（t，0），
y=-2x+4，當y=0時，x=2，
∴B（2，0），
∴MB=t-2．
在Rt△DHM中，MD=

(t-5)2+36

，
∴t-2=

(t-5)2+36

，
解得：t=

19

2

，
∴M（

19

2

，0）．
設DM解析式為：y=mx+n，
則

5m+n=-6 19 2 m+n=0

，解得

m= 4 3 n=- 38 3

，
∴y=

4

3

x-

38

3

．
點E為直線DM和拋物線的交點，
由

y= 4 3 x- 38 3 y= 4 9 x2- 40 9 x+ 46 9

，解得：

x=5 y=-6

或

x=8 y=-2

，
∴E（8，-2）；

（3）存在，點R坐標為（3

5

-3，0）．理由如下：
設R（m，0）．
∵D（5，-6），E（8，-2），
∴DE=

(8-5)2+(-2+6)2

=5．
∵∠EPR=∠CBO=∠MBD，
又∠EPR+∠EPD=∠MBD+∠BRP，
∴∠BRP=∠EPD，
又∠MBD=∠BDE，PR=PE，
∴△BRP≌△DPE，
∴BP=DE=5，BR=DP．
∵B（2，0），D（5，-6），
∴BD=

(5-2)2+(-6-0)2

=3

5

，
∴PD=BD-BP=3

5

-5，
∴BR=PD=3

5

-5，
∴m-2=3

5

-5，
∴m=3

5

-3，
∴點R坐標為（3

5

-3，0）．          

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到運用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，函數圖象上點的坐標特征，全等三角形的判定與性質，兩函數交點坐標的求法，旋轉的性質，兩點間的距離公式等知識，綜合性較強，有一定難度．運用數形結合、方程思想是解題的關鍵．