已知:關于x的方程x2-(k+2)x+2x=0
(1)求證:無論取任何實數(shù)值,方程總有實數(shù)根;
(2)若等腰三角形ABC的一邊長a=1,另兩邊長b,c恰好是這個方程的兩個根,求△ABC的周長.
(1)證明:△=(k+2)2-4•2k
=(k-2)2,
∵(k-2)2≥0,即△≥0,
∴無論取任何實數(shù)值,方程總有實數(shù)根;
(2)解:當b=c時,△=(k-2)2=0,則k=2,
方程化為x2-4x+4=0,解得x1=x2=2,
∴△ABC的周長=2+2+1=5;
當b=a=1或c=a=1時,
把x=1代入方程得1-(k+2)+2k=0,解得k=1,
方程化為x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,
不符合三角形三邊的關系,此情況舍去,
∴△ABC的周長為5.
分析:(1)先計算出△=(k+2)2-4•2k=(k-2)2,然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)和根的判別式的意義判斷方程根的情況;
(2)分類討論:當b=c時,△=0,則k=2,再把k代入方程,求出方程的解,然后計算三角形周長;當b=a=1或c=a=1時,把x=1代入方程解出k=1,再解此時的一元二次方程,然后根據(jù)三角形三邊的關系進行判斷.
點評:本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2-4ac:當△>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0,方程有兩個相等的實數(shù)根;當△<0,方程沒有實數(shù)根.也考查了三角形三邊的關系.