Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0），交y軸正半軸于點(diǎn)C，給出下列結(jié)論：

①a＝－1, b＝2, c＝3；

②若0＜x＜4，則5a＜y＜－3a；

③對任意實(shí)數(shù)m，一定有am2＋bm＋a≤0；

④一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的兩個(gè)根為－1和．其中正確的結(jié)論是(　　)

A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用交點(diǎn)式寫出拋物線解析式為y=ax2-2ax-3a，則可對①進(jìn)行判斷；配成頂點(diǎn)式得y=a（x-1）2-4a，計(jì)算x=4時(shí)，y=a51=5a，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對②進(jìn)行判斷；根據(jù)頂點(diǎn)式，拋物線向下平移-4a個(gè)單位，解析式為：y′=ax2+bx+c+4a=ax2+bx-3a+4a=ax2+bx+a≤0，可對③進(jìn)行判斷；由于b=-2a，c=-3a，則方程cx2+bx+a=0化為-3ax2-2ax+a=0，然后解方程可對④進(jìn)行判斷．

∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0），

∴拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），即y=ax2-2ax-3a，

∴b=-2a，c=-3a，

∴a：b：c=-1：2：3，故①錯(cuò)誤；

當(dāng)x=4時(shí)，y=a（x+1）（x-3）=a51=5a，y=ax2-2ax-3a=a[（x-1）2-4]=a（x-1）2-4a，

∴當(dāng)0＜x＜4時(shí)，則5a＜y＜-4a，所以②錯(cuò)誤；

∵y=ax2-2ax-3a=a[（x-1）2-4]=a（x-1）2-4a，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4a），

∵拋物線開口向下，c=-3a，

∴拋物線向下平移-4a個(gè)單位，則拋物線頂點(diǎn)為（1，0），

∴平移后的解析式為：y′=ax2+bx+c+4a=ax2+bx-3a+4a=ax2+bx+a≤0，故③正確；

∵b=-2a，c=-3a，

∴方程cx2+bx+a=0化為-3ax2-2ax+a=0，

整理得3x2+2x-1=0，解得x1=-1，x2=，所以④正確．

故選D.