Question

兩個全等的三角形ABC和DEF重疊在一起，△ABC的面積為3，且AB=CB，固定△ABC不動，將△DEF進行如下操作：
（1）如圖①，△DEF沿線段AB向右平移（即D點在線段AB內(nèi)移動），連接DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷地變化，但它的面積不變化，請求出其面積；
（2）如圖②，當D點B向右平移到B點時，試判斷CE與BF的位置關系，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，若∠AEC=15°，求AB的長．

Answer 1

解：（1）過點C作CE⊥AB于點H，
由平移的性質(zhì)可得：CF=AD，CF∥AB，
∴S_{四邊形CDBF}=（CF+BD）•CH=（AD+BD）•CH=AB•CH，
∵S_△ABC=AB•CH=3，
∴S_{四邊形CDBF}=3；

（2）CE⊥BF．
理由：由平移的性質(zhì)可得：BE=CF，BE∥CF，
∴四邊形CBEF是平行四邊形，
∵AB=CB，AB=BE，
∴CB=BE，
∴?CBEF是菱形，
∴CE⊥BF；

（3）過點C作CG⊥AB于點G，
∵CB=BE，∠AEC=15°，
∴∠BCE=∠AEC=15°，
∴∠ABC=∠AEC+∠BCE=30°，
∴在Rt△BCG中，CG=CB，
∵AB=CB，
∴CG=AB，
∴S_△ABC=AB•CG=AB²=3，
解得：AB=2．
分析：（1）首先過點C作CE⊥AB于點H，由平移的性質(zhì)可得：CF=AD，CF∥AB，即可得S_{四邊形CDBF}=（CF+BD）•CH=（AD+BD）•CH=AB•CH=S_△ABC=3；
（2）由平移的性質(zhì)可得：BE=CF，BE∥CF，可證得四邊形CBEF是平行四邊形；又由AB=BC=BE，即可得?CBEF是菱形，由菱形的性質(zhì)可證得：CE⊥BF；
（3）首先過點C作CG⊥AB于點G，由∠AEC=15°，可得∠ABC=30°，即可得CG=CB=AB，又由△ABC的面積為3，即可求得AB的長．
點評：此題考查了菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．