Question

在直角坐標(biāo)系中，有如圖所示的Rt△ABO，AB⊥x軸于點(diǎn)B，斜邊AO=10，sin∠AOB=

3

5

，反比例函數(shù)y=

k

x

(k＞0)的圖象經(jīng)過(guò)AO的中點(diǎn)C，且與AB交于點(diǎn)D．
（1）求此反比例函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）過(guò)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)E，由AB也與x軸垂直，得到CE與AB平行，又C為OA的中點(diǎn)，可得出E為OB的中點(diǎn)，即CE為三角形AOB的中位線，在直角三角形AOB中，根據(jù)斜邊AO的長(zhǎng)及sin∠AOB的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出AB的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)，利用三角形中位線定理得到CE等于AB的一半，可得出CE的長(zhǎng)，即為C的縱坐標(biāo)，由OE等于OB的一半，由OB的長(zhǎng)求出OE的長(zhǎng)，即為點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，確定出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入到y(tǒng)=

k

x

中，求出k的值，即可確定出反比例函數(shù)解析式；
（2）由AB與x軸垂直，且D在AB上，可得出D與B的橫坐標(biāo)相同，由OB的長(zhǎng)得出D的橫坐標(biāo)，將求出的D的橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，求出對(duì)應(yīng)的y的值，即為D的縱坐標(biāo)，即可確定出D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）過(guò)C點(diǎn)作CE⊥OB于E，
∵AB⊥OB，CE⊥OB，
∴CE∥AB，又C為OA的中點(diǎn)，
∴E為OB的中點(diǎn)，即CE為△AOB的中位線，
∴CE=

1

2

AB，OE=

1

2

OB，
在Rt△AOB中，AO=10，sin∠AOB=

3

5

，
∴sin∠AOB=

AB

AO

，即AB=10×

3

5

=6，
根據(jù)勾股定理得：OB=

OA2-AB2

=8，
∴OE=4，CE=3，
∴C的坐標(biāo)是（4，3），
將C（4，3）代入y=

k

x

中得：k=12，
則反比例函數(shù)解析式為y=

12

x

；

（2）∵AB⊥x軸，D在AB上，且OB=8，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為8，
將x=8代入y=

12

x

中得：y=1.5，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，1.5）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)有：平行線的性質(zhì)，三角形中位線定理，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，以及利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，其中作出輔助線CE是本題的突破點(diǎn)．