Question

【題目】如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為，B點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，過B作軸，垂足為C．

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在射線上是否存在一點(diǎn)D，使得是直角三角形，求出所有可能的D點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），y＝；（2）（19，3）或（，3）．

【解析】

（1）先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式；

（2）由于點(diǎn)D在射線CB上，所以∠AOD≠90°，當(dāng)∠OAD＝90°時(shí)，先求得直線AD的解析式，進(jìn)而可求得點(diǎn)D坐標(biāo)；當(dāng)∠ODA＝90°時(shí)，設(shè)AO、BC交于點(diǎn)F，如圖2，則易知DF＝，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)和AO的長(zhǎng)即可解決問題.

解：（1）∵點(diǎn)B（2，3）在反比例函數(shù)的圖象上，∴a＝2×3＝6，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝，

∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為6，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝圖象上，∴A（1，6），

把點(diǎn)A（1，6）、B（2，3）代入中，得：，解得：，

∴一次函數(shù)的表達(dá)式為；

（2）由于點(diǎn)D在射線CB上，所以∠AOD≠90°.

①當(dāng)∠OAD＝90°時(shí)，如圖1，∵直線OA的解析式為：，∴設(shè)直線AD的解析式為，

把點(diǎn)A（1，6）代入，得，∴直線AD的解析式為，

當(dāng)y＝3時(shí)，x＝19，∴D（19，3）；

②當(dāng)∠ODA＝90°時(shí)，設(shè)AO、BC交于點(diǎn)F，如圖2，

∵A（1，6），B（2，3），軸，

∴AF＝OF＝DF＝，F（，3），

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，3）；

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為（19，3）或（，3）．