Question

已知如圖，拋物線y=x²-x-1與y軸交于C點，以原點O為圓心，以O(shè)C為半徑作⊙O，交x軸于A、B兩點，交y軸于另一點D．設(shè)點P為拋物線y=x²-x-1上的一點，作PM⊥x軸于點M，求使△PMB∽△ADB時的P點坐標(biāo)．

Answer 1

解：當(dāng)x=0時，y=-1，
∴C的坐標(biāo)是（0，-1），
∵以原點O為圓心，以O(shè)C為半徑作⊙O，交x軸于A、B兩點，交y軸于另一點D，
∴A（-1，0），B（1，0），D（0，1），
由勾股定理得：AD=BD=，
∵OA=OB=OD，
∴∠ADB=90°，
即△ADB是等腰直角三角形，
∵△PMB∽△ADB，
∴△PMB是等腰直角三角形，
∵∠PMB=90°，
∴PM=BM，
設(shè)P的坐標(biāo)是（x，x²-x-1），B（1，0），
∴BM=|x-1|，
∴x-1=x²-x-1，-（x-1）=x²-x-1，
即x²-2x=0，x²=2，
解得：x₁=0，x₂=2，x₃=，x₄=-，
∴y₁=x²-x-1=-1，y₂=1，y₃=1-，y₄=1+，
∴P的坐標(biāo)是（0，-1），（2，1），（，1-），（-，1+），
答：使△PMB∽△ADB時的P點坐標(biāo)是（0，-1）或（2，1）或（，1-）或（-，1+）．
分析：求出C、A、B、D、的坐標(biāo)，求出AD、BD的值，證出∠ADB=90°，得出△ADB是等腰直角三角形，推出△PMB是等腰直角三角形，設(shè)P的坐標(biāo)是（x，x²-x-1），根據(jù)PM=BM求出x即可．
點評：本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵．