Question

已知：如圖，AB=BC,∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交OC與點D，AD的延長線交BC于點E，過D作⊙O的切線交BC于點F。下列結論：①CD²=CE·CB；②4EF²=ED·EA；③∠OCB=∠EAB；④DF=CD.其中正確的有            (填序號)

 

Answer 1

【答案】

①、②、④

【解析】

試題分析：先連接BD，利用相似三角形的判定以及切線的性質定理得出DF=FB，進而分別得出△CDE∽△CBD以及△CDF∽△CBO，再根據(jù)相似三角形的性質分別分析即可得出答案．：解：①連接BD，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠DBE+∠3=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠1+∠DBE=90°，

∴∠1=∠3，

又∵DO=BO，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴∠CDB=∠CED，

∵∠DCB=∠ECD，

∴△CDE∽△CBD，

∴CD²=CE?CB，故①CD²=CE?CB正確；

②∵過D作⊙O的切線交BC于點F，

∴FD是⊙O的切線，

∵∠ABC=90°，

∴CB是⊙O的切線，

∴FB=DF，

∴∠FDB=∠FBD，

∴∠1=∠FDE，

∴∠FDE=∠3，

∴DF=EF，

∴EF=FB，

∴EB=2EF，

∵在Rt△ABE中，BD⊥AE，

∴EB²=ED?EA，

∴4EF²=ED?EA，故②4EF²=ED?EA正確；

③∵AO=DO，

∴∠OAD=∠ADO，

假設③∠OCB=∠EAB成立，

則∠OCB=0.5∠COB，

∴∠OCB=30°，

而，與tan30°=矛盾，

故③∠OCB=∠EAB不成立，故此選項錯誤；

④∵∠CDF=∠CBO=90°，

∠DCF=∠OCB，

∴△CDF∽△CBO，

∴，

∴，

∵AB=BC，

∴DF=0.5CD；故④DF=0.5CD正確．

綜上正確的有①、②、④．

故答案為：①②④．

考點：圓的增合體

點評：此題主要考查了圓的切線性質與判定、圓周角定理性質及三角形相似的判定等知識，熟練根據(jù)相似三角形的性質得出對應邊之間關系是解題關鍵．