Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，過(guò)AD的中點(diǎn)O作EF⊥AD，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接DE、DF．

（1）判斷四邊形AFDE是什么四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若BD=8，CD=3，AE=4，求CF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）四邊形AEDF是菱形,理由見(jiàn)解析；（2）CF= .

【解析】試題分析：（1）由于O是AD的中點(diǎn)，且EF⊥AD，所以AE=DE，AF=DF，由于AD平分∠BAC，所以∠EAO=∠FAO=90°，從易證AE=AF=DF=DE，所以四邊形AEDF是菱形．

（2）由DE∥AC可知△BDE∽△BCA，從而可知 ，代入數(shù)據(jù)即可求出AC的長(zhǎng)度，從而可知CF的長(zhǎng)度．

試題解析：（1）四邊形AEDF是菱形,理由如下：

∵O是AD的中點(diǎn)，且EF⊥AD，

∴AE=DE，AF=DF，

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAO=∠FAO，

∵∠EOA=∠FOA=90°，

∴∠OEA=∠OFA，

∴AE=AF，

∴AE=AF=DF=DE，

∴四邊形AEDF是菱形．

（2）∵四邊形AEDF是菱形，

∴DE∥AC．

∴△BDE∽△BCA．

∴，

∴

∴AC=

∴CF=AC﹣CF= .