Question

如圖，平面直角坐標系中，直線AB與x軸、y軸分別交于A（3，0），B（0，）兩點．
（1）求直線AB的解析式；
（2）在第一象限內是否存在點P，使得以P、O、B為頂點的三角形與△OBA相似？若存在，請畫出所有符合條件的點P，并求其中一個點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出直線斜率k和截距b，直線解析式就可以寫出了．
（2）△OBA中，已經有一直角，再找一銳角相等就可以了．
解答：解：（1）設函數解析式為y=kx+b，
根據題意，
解得，
∴．

（2）過O作OP⊥AB垂足為P，得△OBA∽△PBO，
過B作BP″⊥y軸，使BP″=OA，連接OP″，得△OBA∽△BOP″，
過B作BP′⊥OP″，垂足為P′，得△OBA∽△P′OB，
由題可得OA=3，OB=，AB=2，∠OAB=30°．
①若△BOP∽△OBA，則∠BPO=∠BAO=30°，BP=OB=3，
∴P₁（3，）；
②若△BPO∽△OAB，則∠BOP=∠BAO=30°，OP=OB=1，
∴P₂（1，）；
③當∠OPB=90°時，
過點P作OP⊥BC（如圖），此時△PBO∽△OAB，∠BOP=∠BAO=30°，過點P作PM⊥OA，
在Rt△PBO中，BP=OB=，OP=BP=，
∵在Rt△PMO中，∠OPM=60°，
∴OM=OP=，PM=OM=，
∴P₃（，）；

④若△POB∽△OAB，則∠OBP=∠BAO=30°，∠P₄OM=90°-（90°-30°）=30°，
∴P₄M=OM=，
∴P₄（，）．
當∠OPB=90°時，點P在x軸上，不符合要求．
故符合條件的點有四個：P₁（3，），P₂（1，），P₃（，），P₄（，）．
點評：待定系數法求一次函數解析式和直角三角形相似的判定方法是本題考查的兩個知識點．