Question

（2012•崇安區(qū)一模）如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，則稱這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn)．例如：矩形ABCD中，點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形ABC，則稱點(diǎn)C為A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．同樣，點(diǎn)D也是A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．

（1）如圖1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，請(qǐng)?jiān)谶匔D上作出A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)（點(diǎn)C和點(diǎn)D除外）（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接寫出邊CD上A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
（3）如圖2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4 cm，DM=8 cm，AN=5 cm．動(dòng)點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿著DC方向以1 cm/s的速度向右移動(dòng)，過點(diǎn)P的直線l平行于BC，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），點(diǎn)H為M，N兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，且點(diǎn)H在直線l上．
①當(dāng)t=4時(shí)，求PH的長．
②探究滿足條件的點(diǎn)H的個(gè)數(shù)（直接寫出點(diǎn)H的個(gè)數(shù)及相應(yīng)t的取值范圍，不必證明）．

Answer 1

分析：（1）以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn)，或線段CD的中點(diǎn)就是A，B兩點(diǎn)在CD上的勾股點(diǎn)；
（2）當(dāng)矩形ABCD中，AB=3，BC=1時(shí)，此時(shí)以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn)有兩個(gè)，加上C、D兩點(diǎn)，總共四個(gè)點(diǎn)；
（3）①如圖，當(dāng)t=4時(shí)，PM=8-4=4，QN=5-4=1，分三種情況：
當(dāng)∠MHN=90°時(shí)，根據(jù)已知條件可以證明△PMH∽△QHN，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例即可求出PH；
當(dāng)∠H''NM=90°時(shí)，設(shè)PH=x，那么H''Q=4-x，根據(jù)勾股定理得到PM²+PH''²=QN²+H''Q²+MN²，而MN=

42+32

=5，依次即可求出PH''；
當(dāng)∠H'MN=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理得到H'P²+PM²+QH'²+QN²=MN²，而H'Q=PH'+PQ=PH'+4，依次即可求出PH'．
②利用①的結(jié)果可以探究滿足條件的點(diǎn)H的個(gè)數(shù)及相應(yīng)t的取值范圍．

解答：解：（1）如圖，以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn)，或線段CD的中點(diǎn)E就是所勾股點(diǎn)；

（2）∵矩形ABCD中，AB=3，BC=1時(shí)，
∴以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn)有兩個(gè)，加上C、D兩點(diǎn)，總共四個(gè)點(diǎn)4個(gè)；

（3）①如圖，當(dāng)t=4時(shí)，PM=8-4=4，QN=5-4=1，
當(dāng)∠MHN=90°時(shí)，
∵∠MPH=∠HQN=90°，
∴△PMH∽△QHN，
∴PH：QN=PM：HQ，
而PH+HQ=BC=4，
∴PH=2；
當(dāng)∠H''NM=90°時(shí)，設(shè)PH=x，那么H''Q=4-x
依題意得PM²+PH''²=QN²+H''Q²+MN²，
而MN=

42+32

=5，
∴PH=

13

4

；
當(dāng)∠H'MN=90°時(shí)，QH'²+QN²-（H'P²+PM²）=MN²，
而H'Q=PH'+PQ=PH'+4，
∴PH=3．
∴PH=

13

4

或PH=2或PH=3．
②當(dāng)0≤t＜4時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)t=4時(shí)，有3個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)4＜t＜5時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)t=5時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)5＜t＜8時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)t=8時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)0≤t＜4或t=5或t=8時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；當(dāng)t=4時(shí)，有3個(gè)勾股點(diǎn)；當(dāng)4＜t＜5或5＜t＜8時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，難度很大，綜合性比較強(qiáng)，是一個(gè)探究性試題，利用了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)、等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生是能力要求很高，解題關(guān)鍵是正確理解題目所給材料，然后充分利用材料解題．