Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，BC邊上的高AM=4，E為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）．過(guò)E作直線AB的垂線，垂足為F．FE與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，連接DE，DF．
（1）求證：△BEF∽△CEG；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BEF和△CEG的周長(zhǎng)之間有什么關(guān)系？并說(shuō)明你的理由；
（3）設(shè)BE=x，△DEF的面積為y，請(qǐng)你求出y和x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）有AB∥DG，即可直接得到兩個(gè)三角形相似．
（2）兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之和是定值．利用勾股定理可求出BM=3，又因?yàn)镽t△BEF∽R(shí)t△BAM，令BE=x，那么根據(jù)相似比，可用含x的代數(shù)式分別表示EF，BF，同樣在△CEG中，令CE=y，可用含y的代數(shù)式表示CG，EG，又x+y=10，那么能求出兩三角形的周長(zhǎng)和是（x+y）=24．
（3）利用相似比、勾股定理可得EF=x，CG=（10-x），那么利用三角形的面積公式，可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)求最大值來(lái)求即可．
解答：（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AB∥DG，
所以∠B=∠GCE，∠G=∠BFE，
所以△BEF∽△CEG．

（2）解：△BEF與△CEG的周長(zhǎng)之和為定值．
理由一：過(guò)點(diǎn)C作FG的平行線交直線AB于H，
因?yàn)镚F⊥AB，所以四邊形FHCG為矩形．
所以FH=CG，F(xiàn)G=CH，
因此，△BEF與△CEG的周長(zhǎng)之和等于BC+CH+BH，
∵∠B=∠B，∠AMB=∠BHC=90°
∴△ABM∽△CBH，
∴
由BC=10，AB=5，AM=4，
可得CH=8，
∴BH=6，
所以BC+CH+BH=24；
理由二：由AB=5，AM=4，可知：
在Rt△BEF與Rt△GCE中，有：EF=BE，BF=BE，GE=EC，GC=CE，
所以，△BEF的周長(zhǎng)是BE，△ECG的周長(zhǎng)是CE，
又BE+CE=10，因此△BEF與△CEG的周長(zhǎng)之和是24．

（3）解：設(shè)BE=x，則EF=x，GC=（10-x），
所以y=EF•DG=•x[（10-x）+5]=-x²+x，
配方得：y=-（x-）²+．
所以，當(dāng)x=時(shí)，y有最大值．
最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了被兩條平行線所截的兩個(gè)三角形相似，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式，二次函數(shù)求最大值的問題．