Question

如圖是一個用來盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開口圓的直徑EF長為10cm，母線OE（OF）長為10cm．在母線OF上的點A處有一塊爆米花殘渣，且FA=2cm，一只螞蟻從杯口的點E處沿圓錐表面爬行到A點，則此螞蟻爬行的最短距離　　　　　　cm．

　

Answer 1

　2　cm．

【考點】平面展開-最短路徑問題；圓錐的計算．

【專題】壓軸題．

【分析】要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果．

【解答】解：因為OE=OF=EF=10（cm），

所以底面周長=10π（cm），

將圓錐側(cè)面沿OF剪開展平得一扇形，此扇形的半徑OE=10（cm），弧長等于圓錐底面圓的周長10π（cm）

設(shè)扇形圓心角度數(shù)為n，則根據(jù)弧長公式得：

10π=，

所以n=180°，

即展開圖是一個半圓，

因為E點是展開圖弧的中點，

所以∠EOF=90°，

連接EA，則EA就是螞蟻爬行的最短距離，

在Rt△AOE中由勾股定理得，

EA²=OE²+OA²=100+64=164，

所以EA=2（cm），

即螞蟻爬行的最短距離是2（cm）．

【點評】圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．