Question

已知：E是正方形ABCD內一點，且∠ECD=∠EDC=15°，求證：△ABE是等邊三角形，小萍同學靈活運用全等變換，將△ECD進行旋轉與翻折，使△ECD≌△FAD，巧妙地解答了此題．請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：
（1）證明：△DEF是等邊三角形；
（2）證明：△ECD≌△FAE；
（3）證明：△ABE是等邊三角形．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,旋轉的性質

專題：

分析：（1）利用全等三角形的性質得出DE=DF，∠FDE=90°-∠FDA-∠EDC=60°，即可得出答案；
（2）利用（1）中結論得出∠AFE=360°-150°-60°=150°，進而得出DE=EF，AF=EC，即可得出答案；
（3）利用以上結論得出∠DAE=30°，進而得出AE=AB，即可得出答案．

解答：證明：（1）∵∠ECD=∠EDC=15°，將△ECD進行旋轉與翻折，使△ECD≌△FAD，
∴∠FDA=15°，DE=DF，
∴∠FDE=90°-∠FDA-∠EDC=60°，
∴△DEF是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）；

（2）∵△DEF是等邊三角形，
∴DF=EF=DE，∠DFE=∠DEF=60°，
∵DE=EC，DF=AF，
∴AF=EF，
∵∠ECD=∠EDC=15°，
∴∠DEC=150°，
∴∠DFA=150°，
∴∠AFE=360°-150°-60°=150°，
∴

DE=FE ∠DEC=∠AFE AF=EC

，
∴△ECD≌△FAE（SAS）；

（3）∵△ECD≌△FAE，△ECD≌△FAD，
∴DC=AE，∠FAE=∠EDC=∠DAF=15°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAB=60°，
∴△ABE是等邊三角形．

點評：本題考查了圖形的翻折變換以及全等三角的判定和等邊三角形的判定等知識，熟練利用全等三角形形的性質得出對應邊與對應角之間的關系是解題關鍵．