Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD//BC，交AB于點(diǎn)D，連接PQ分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB= ， PD= ．
（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．并探究如何改變Q的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度；
（3）如圖2，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求出線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長．

Answer 1

【答案】
（1）8﹣2t；
t
（2）

解：不存在

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10

∵PD//BC，

∴△APD∽△ACB，

∴ ，即 ，

∴AD= t，

∴BD=AB﹣AD=10﹣ t，

∵BQ//DP，

∴當(dāng)BQ=DP時(shí)，四邊形PDBQ是平行四邊形，

即8﹣2t= ，解得：t= ．

當(dāng)t= 時(shí)，PD= = ，BD=10﹣ × =6，

∴DP≠BD，

∴PDBQ不能為菱形．

設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒v個(gè)單位長度，

則BQ=8﹣vt，PD= t，BD=10﹣ t，

要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，

當(dāng)PD=BD時(shí)，即 t=10﹣ t，解得：t=

當(dāng)PD=BQ，t= 時(shí)，即 =8﹣ ，解得：v=

當(dāng)點(diǎn)Q的速度為每秒 個(gè)單位長度時(shí)，經(jīng)過 秒，四邊形PDBQ是菱形

（3）

解：如圖2，以C為原點(diǎn)，以AC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

依題意，可知0≤t≤4，當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（3，0），當(dāng)t=4時(shí)點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（1，4）．

設(shè)直線M1M2的解析式為y=kx+b，

∴ ，

解得 ，

∴直線M1M2的解析式為y=﹣2x+6．

∵點(diǎn)Q（0，2t），P（6﹣t，0）

∴在運(yùn)動(dòng)過程中，線段PQ中點(diǎn)M3的坐標(biāo)（ ，t）．

把x= 代入y=﹣2x+6得y=﹣2× +6=t，

∴點(diǎn)M3在直線M1M2上．

過點(diǎn)M2作M2N⊥x軸于點(diǎn)N，則M2N=4，M1N=2．

∴M1M2=2

∴線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長為2 單位長度．

【解析】解：（1）根據(jù)題意得：CQ=2t，PA=t，
∴QB=8﹣2t，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD//BC，
∴∠APD=90°，
∴tanA= = ，
∴PD= t．
所以答案是：（1）8﹣2t， t．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長的積的一半；測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解才能正確解答此題．