Question

【題目】如圖，平行四邊形中，，，∠，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在的邊上，若為等腰三角形，則的長為__________．

Answer 1

【答案】或或6

【解析】

根據(jù)點(diǎn)P所在的線段分類討論，再分析每種情況下腰的情況，然后利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理分別求值即可．

解：①當(dāng)點(diǎn)P在AB上時,由∠ABC=120°,此時只能是以∠PBE為頂角的等腰三角形,BP=BE,過點(diǎn)B作BF⊥PE于點(diǎn)F,如下圖所示

∴∠FBE=∠ABC=60°,EP=2EF

∴∠BEF=90°－∠FBE=30°

∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)

∴BE=

在Rt△BEF中，BF=

根據(jù)勾股定理：EF=

∴EP=2EF=；

②當(dāng)點(diǎn)P在AD上時，過點(diǎn)B作BF⊥AB于F，過點(diǎn)P作PG⊥BC，如下圖所示

∵∠ABC=120°

∴∠A=60°

∴∠ABF=90°－∠A=30°

在Rt△ABF中AF=，BF=

∴BP≥BF＞BE，EP≥BF＞BE

∴此時只能是以∠BPE為頂角的等腰三角形,BP=PE,

∴PG=BF=，EG=

根據(jù)勾股定理：EP=；

③當(dāng)點(diǎn)P在CD上時，過點(diǎn)E作EF⊥CD于F，過點(diǎn)B作BG⊥CD

由②可知：BE的中垂線與CD無交點(diǎn)，

∴此時BP≠PE

∵∠A=60°，四邊形ABCD為平行四邊形

∴∠C=60°

在Rt△BCG中，∠CBG=90°－∠C=30°，CG=

根據(jù)勾股定理：BG=

∴BP≥BG＞BE

∵EF⊥CD，BG⊥CD，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)

∴EF為△BCG的中位線

∴EF=

∴此時只能是以∠BEP為頂角的等腰三角形,BE=PE=6．

綜上所述：的長為或或6．

故答案為：或或6