Question

如圖，已知在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，4），點C的坐標為
（12，0），點D的坐標為（8，4），動點E從點A出發(fā)，沿y軸正方向以每秒1個單位的速度移動；同時動點F從點A出發(fā)，在線段AD上以每秒2個單位的速度向點D移動．當點F與點D重合時，E、F兩點同時停止移動．設點E移動時間為t秒．
（1）求當t為何值時，三點C、E、F在同一直線上；
（2）設順次連接OCFE，設這個封閉圖形的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關系及自變量t的取值范圍；
（3）求當t為何值時，以O、E、F為頂點的三角形是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）當C、E、F在一條直線上的時候．很顯然三角形EAF和EOC相似，那么可通過相似三角形的對應線段成比例來得出關于EA、AF、EO，OC的比例關系，根據(jù)E，F(xiàn)的速度，可以用時間t表示出EA、AF、EO的長，那么根據(jù)這個比例關系即可求出t的值．
（2）可將OCFE的面積分成三角形EAF和梯形AFCO兩部分來計算．三角形EAF中，可以用t表示出EA、AF，梯形AFCO中，AF已經(jīng)用t表示出來，而OA和OC可以用A、C的坐標求出，因此根據(jù)三角形和直角梯形的面積公式即可得出S與t的函數(shù)關系式．
（3）可分三種情況進行討論：
當OE=EF，E為頂點時；當OF=OE，O為頂點時；當OF=FE，F(xiàn)為頂點時．
然后用各點的坐標根據(jù)坐標系中點與點之間的距離公式表示出這些相等的線段求出t的值．
解答：解：（1）當三點C、E、F在同一直線上時，
△EAF∽△EOC，
則可得：
解得t=2
即當t=2時，三點C、E、F在同一直線上


（2）由已知得S=S_△EAF+S_梯形AOCF=+
=+4t+24
自變量t的取值范圍為0＜t≤4；

（3）分3種情況：
當OF=EF時，AO=EA，則t=4
當OF=OE時，OF²=OE²，則（4+t）²=4²+4t²
解得t=
當EF=OE時，EF²=OE²，則（4+t）²=t²+4t²
解得t=
所以t的值為：4或或．
點評：本題結合梯形的性質考查二次函數(shù)的綜合應用，相似三角形的判定等知識點，要注意第（3）問中，要分腰和頂點的不同來分類討論，不要丟掉任何一種情況．