Question

將兩塊大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B′A′C=30°）按圖①方式放置，固定三角板A′B′C，然后將三角板ABC繞直角頂點C順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于90°）至圖②所示的位置，AB與A′C交于點E，AC與A′B′交于點F，AB與A′B′相交于點O．
（1）求證：△BCE≌△B′CF；
（2）當旋轉(zhuǎn)角等于30°時，AB與A′B′垂直嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可知∠B=∠B′，BC=B′C，∠BCE=∠B′CF，利用ASA即可證出△BCE≌△B′CF；
（2）由旋轉(zhuǎn)角等于30°得出∠ECF=30°，所以∠FCB′=60°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可知∠BOB′的度數(shù)為360°-60°-60°-150°，最后計算出∠BOB′的度數(shù)即可．
解答：（1）證明：兩塊大小相同的含30°角的直角三角板，所以∠BCA=∠B'CA'
∵∠BCA-∠A'CA=∠B'CA'-∠A'CA
即∠BCE=∠B′CF
∵∠B=∠B′，BC=B′C，∠BCE=∠B′CF，
∴△BCE≌△B′CF；

（2）解：AB與A′B′垂直，理由如下：
旋轉(zhuǎn)角等于30°，即∠ECF=30°，
所以∠FCB′=60°，
又∠B=∠B′=60°，
根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可知∠BOB′的度數(shù)為360°-60°-60°-150°=90°，
所以AB與A′B′垂直．
點評：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題時要根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出角的度數(shù)，要與全等三角形的判定和四邊形的內(nèi)角和定理相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．