Question

　　小明按下面的方法作出了∠MON的平分線：

　�、俜聪蜓娱L射線OM；

　�、谝渣c(diǎn)O為圓心，任意長為半徑作圓，分別交∠MON的兩邊于點(diǎn)A、B，交射線OM的反向延長線于點(diǎn)C；

　　③連接CB；

　　④以O(shè)為頂點(diǎn)，OA為一邊作∠AOP＝∠OCB．

(1)根據(jù)上述作圖，射線OP是∠MON的平分線嗎？并說明理由．

(2)若以點(diǎn)A作⊙O的切線交射線OP于點(diǎn)F，連接AB交OP于點(diǎn)E，當(dāng)∠MON＝60°、OF＝10時，求AE的長．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)解法一：∵∠AOF＝∠OCB， 　　又∵∠BOA＝2∠OCB，∴∠AOF＝∠BOF 　　∴OP為∠BOA的角平分線 　　解法二：∵∠AOF＝∠OCB， 　　∴PO∥BC，∴∠POB＝∠OBC， 　　又∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠AOF＝∠POB， 　　∴OE為∠BOD的角平分線． 　　(2)解法一：∵AF與⊙O相切，∴AF⊥AO， 　　∵∠MON＝60°，∴∠AOF＝∠MON＝30°， 　　∴AF＝OF＝5，由勾股定理得：AO＝． 　　∵AO＝BO，∴△AOB是等腰三角形． 　　∵OP平分∠AOB，∴PO⊥AB． 　　在Rt△AOF中，S△AOF＝AO×AF＝FO×AE， 　　即×5＝10×AE∴AE＝ 　　解法二：∵∠MON＝60°，∴△AOB為正三角形， 　　∵OP平分∠MON，∴AE＝BE＝AB， 　　∵OP平分∠BOD，∴∠BOF＝30°， 　　又∵AF與⊙O相切，∴AF⊥AO 　　在Rt△AOF中，AO＝， 　　∴AB＝AO＝，∴AE＝