Question

已知四邊形ABCD是矩形，BC＞AB，直線MN分別與AB，BC交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P不與A，C重合）．
（1）當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)時(shí)，（如圖1）問點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P，E，F(xiàn)能否構(gòu)成直角三角形？若能，共有幾個(gè)？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出所有滿足條件的三角形．
（2）若AB=3，BC=4，P為AC的中點(diǎn)，當(dāng)直線MN的移動(dòng)時(shí)，始終保持MN∥AC，（如圖2）求△PEF的面積S_△PEF與FC的長x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）共有四個(gè)：①∠PEF=90°；②∠PFE=90°；③∠EPF=90°（兩種），此種情況，可以EF為直徑作圓，圓與AC的交點(diǎn)就是P點(diǎn)．
（2）由于三角形PEF的面積無法直接求出，可用三角形ABC的面積減去三角形AEP、BEF、CFP三個(gè)小三角形的和來求．
三角形BEF的面積可用三角形ABC的面積和它們的相似比來求出．
由于P是AC中點(diǎn)，而MN∥AC，根據(jù)等底等高的三角形面積相等可得出三角形AEP和CPF的面積相等，因此只需求出三角形FCP的面積即可．三角形PCF中，CF的長已知了為x，CF邊上的高可用PC的長和∠ACB的正弦值求出．
由此可得出三角形PEF的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）能．以EF為直徑作圓，圓與AC的交點(diǎn)就是P點(diǎn)，P點(diǎn)位置如圖所示：
∴共有4個(gè)：①∠PEF=90°；②∠PFE=90°；③∠EPF=90°（兩種）；

（2）在矩形ABCD中
∵AB=3，BC=4，
∴AC=5．
∵S_△ABC=

1

2

•BC•AB，
∴S_△ABC=6．
∵FC=x，
∴BF=4-x．
在△ABC中
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴

S△BEF

S△ABC

=

BF2

BC2

．
∴

S△BEF

6

=

(4-x)2

42

．
∴S_△BEF=6×

(4-x)2

16

=

3

8

（x-4）²．
∵PA=PC，EF∥AC，
∴S_△AEP=S_△CPF=

1

2

FC•CP•sin∠ACB．
∵sin∠ACB=

3

5

，
∴S_△AEP=

1

2

×

5

2

x×

3

5

=

3

4

x．
∴S_△PEF=S_△ABC-（S_△BEF+S_△AEP+S_△CFP）
=6-[

3

8

（x-4）²+

3

4

x+

3

4

x]
=-

3

8

x²+

3

2

x（0＜x＜4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．