Question

如圖，矩形ABCD中，AC，BD是對角線，AB=3，BC=4，點E在CB的延長線上，且CE=AC，連接AE．
（1）求AE的長；
（2）用尺規(guī)作出AE的中點F，連接BF，DF；（保留作圖痕跡）
（3）求證：BF⊥DF；
（4）△ABE與△DFB是否相似？若相似，直接寫出△ABE與△DFB的面積比；若不相似，直接寫出△ABE與△DFB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由勾股定理求出AC=5，求出BE=5-4=1，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理求出AE即可；
（2）分別以A、E為圓心，以大于AE為半徑畫弧，交于一點，過該點和C作直線，交于AE的點就是F點；
（3）證△DAF≌△CBF，推出∠DFA=∠CFB，求出CF⊥AE，推出∠DFB=90°，根據(jù)垂直定義得出即可；
（4）求出BD=AC=5，BF=AF=EF=AE=，DF=，得出===，即可得出答案．
解答：（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠ABC=90°，
∵AB=3，BC=4，
∴由勾股定理得：AC=5，
∵AC=CE，BC=4，
∴BE=5-4=1，
在Rt△ABE中，AE==；

（2）解：如圖所示：

（3）證明：∵∠ABE=90°，F(xiàn)為AE中點，
∴BF=AF=EF，
∴∠FAB=∠FBA，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠DAB=∠CBA=90°，
∴∠DAF=∠CBF，
∵在△DAF和△CBF中

∴△DAF≌△CBF（SAS），
∴∠DFA=∠CFB，
∵F為AE中點，AC=CE，
∴CF⊥AE，
∴∠CFA=90°=∠CFD+∠DFA，
∴∠CFD+∠CFB=90°，
∴∠DFB=90°，
∴BF⊥DF；

（4）解：△ABE與△DFB相似，
理由是：∵BD=AC==5，BF=AF=EF=AE=，
∴DF==，
∵AB=3，BE=1，AE=，
∴===，
即：△ABE與△DFB相似，△ABE與△DFB的面積比是（）²=．
點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，矩形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力．