Question

已知a，b，c是直角三角形的三條邊，且a＜b＜c，斜邊上的高為h，則下列說法中正確的是     ．（只填序號(hào)）
①a²b²+h⁴=（a²+b²+1）h²；②b⁴+c²h²=b²c²；③由可以構(gòu)成三角形；④直角三角形的面積的最大值是．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)直角三角形的面積公式和勾股定理將各式化簡，等式成立者即為正確答案．
解答：解：根據(jù)直角三角形的面積的不同算法，
有ab=ch，
解得h=．
①將h=代入a²b²+h⁴=（a²+b²+1）h²，得
a²b²+（）⁴=（a²+b²+1）（）²，得
a²b²+（）⁴=（c²+1）（）²，得
a²b²+（）⁴=a²b²+，得
即（）⁴=，
a²b²=c²，不一定成立，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
②將h=代入b⁴+c²h²=b²c²，得
b⁴+c²（）²=b²c²，
b⁴+b²a²=b²c²，
整理得b⁴+b²a²-b²c²=0，
b²（b²+a²-c²）=0，
∵b²+a²-c²=0，
∴b²（b²+a²-c²）=0成立，故本選項(xiàng)正確；
③∵b²+a²=c²，
（）²+（）²=a+b，
（）²=c，
∴不能說明（）²+（）²=（）²，
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
④直角三角形的面積為ab，隨ab的變化而變化，所以無最大值，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故答案為②．
點(diǎn)評(píng)：此題不僅考查了勾股定理，還考查了面積法求直角三角形的高，等式變形計(jì)算較復(fù)雜，要仔細(xì)．