Question

如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點,P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點．若∠AMN=90°，求證：AM=MN．

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．

證明：在邊AB上截取AE=MC，連ME．

正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．

∴∠NMC=180°—∠AMN­—∠AMB

=180°—∠B—∠AMB

=∠MAB=∠MAE．

（下面請你完成余下的證明過程）

（2）若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2）,N是∠ACP的平分線上一點，則當∠AMN=60°時，結(jié)論AM=MN是否還成立？請說明理由．

（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正邊形ABCD…X”，請你作出猜想：當∠AMN=         °時，結(jié)論AM=MN仍然成立．

（直接寫出答案，不需要證明）

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】解：（1）∵AE=MC

∴BE=BM,

∴∠BEM=∠EMB=45°,

∴∠AEM=1355°,

           又∵CN平分∠DCP，

∴∠PCN=45°，

∴∠AEM=∠MCN=135°

在△AEM和△MCN中：∵

∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

 

    （2）仍然成立．

        在邊AB上截取AE=MC，連接ME

        ∵△ABC是等邊三角形，

        ∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，

        ∴∠ACP=120°．

        ∵AE=MC，∴BE=BM

        ∴∠BEM=∠EMB=60°

        ∴∠AEM=120°．

        ∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，

        ∴∠AEM=∠MCN=120°

        ∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM

        ∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

 

    （3）

本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題