Question

如圖，矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，連接AC，拋物線經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)。

（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)；

（2）若點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿AB邊向點(diǎn)B移動(dòng)，1秒后點(diǎn)Q也由點(diǎn)A出發(fā)以每秒7個(gè)單位的速度沿AO，OC，CB邊向點(diǎn)B移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止移動(dòng)，點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒。

①當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，求t的值；

②當(dāng)PQ∥AC時(shí)，對(duì)于拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)H，∠HOQ＞∠POQ，求點(diǎn)H的縱坐標(biāo)的取值范圍。

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。

解答：解：（1）由拋物線知：當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣2，

∴A（0，﹣2）。

由于四邊形OABC是矩形，所以AB∥x軸，即A、B的縱坐標(biāo)相同；

當(dāng)時(shí)，，解得，

∴B（4，﹣2），

∴AB=4。

（2）①由題意知：A點(diǎn)移動(dòng)路程為AP=t，

Q點(diǎn)移動(dòng)路程為。

當(dāng)Q點(diǎn)在OA上時(shí)，即，時(shí)，

如圖1，若PQ⊥AC，則有Rt△QAP∽R(shí)t△ABC。

∴，即，

∴。

∵，

∴此時(shí)t值不合題意。

當(dāng)Q點(diǎn)在OC上時(shí)，即，時(shí)，

如圖2，過(guò)Q點(diǎn)作QD⊥AB。

∴AD=OQ=7（t﹣1）﹣2=7t﹣9。

∴DP=t﹣（7t﹣9）=9﹣6t。

若PQ⊥AC，則有Rt△QDP∽R(shí)t△ABC，

∴，即，

∴。

∵，

∴符合題意。

當(dāng)Q點(diǎn)在BC上時(shí)，即，時(shí)，

如圖3，若PQ⊥AC，過(guò)Q點(diǎn)作QG∥AC，

則QG⊥PG，即∠GQP=90°。

∴∠QPB＞90°，這與△QPB的內(nèi)角和為180°矛盾，

此時(shí)PQ不與AC垂直。

綜上所述，當(dāng)時(shí)，有PQ⊥AC。

②當(dāng)PQ∥AC時(shí)，如圖4，△BPQ∽△BAC，

∴，

∴，

解得t=2，即當(dāng)t=2時(shí)，PQ∥AC。

此時(shí)AP=2，BQ=CQ=1，

∴P（2，﹣2），Q（4，﹣1）。

拋物線對(duì)稱軸的解析式為x=2，

當(dāng)H₁為對(duì)稱軸與OP的交點(diǎn)時(shí)，

有∠H₁OQ=∠POQ，

∴當(dāng)y_H＜﹣2時(shí)，∠HOQ＞∠POQ。

作P點(diǎn)關(guān)于OQ的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接PP′交OQ于點(diǎn)M，

過(guò)P′作P′N垂直于對(duì)稱軸，垂足為N，連接OP′，

在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1。

∴OQ=，

∵S_△OPQ=S_{四邊形ABCD}﹣S_△AOP﹣S_△COQ﹣S_△QBP=3=OQ×PM，

∴PM=，

∴PP′=2PM=，

∵NPP′=∠COQ。

∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′

∴，

∴ ，，

∴P′（），

∴直線OP′的解析式為，

∴OP′與NP的交點(diǎn)H₂（2，）。

∴當(dāng)時(shí)，∠HOP＞∠POQ。

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，∠HOQ＞∠POQ。