(2003•黃浦區(qū)一模)如圖已知⊙O及弦BC.
(1)若D是弧BC的中點,A是圓上一點,AD交BC于E,當A在⊙O上運動時,是否總能滿足AB•AC=AE•AD,請作出判斷,并證明你的結(jié)論;
(2)A在⊙O何處時,△ABC為等腰三角形?請說明理由.

【答案】分析:(1)欲證AB•AC=AE•AD,可以證明△ABE∽△ADC得出;
(2)在同圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中只要有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等,A可在弦BC的垂直平分線與⊙O的交點上;或以B為圓心,以BC為半徑作弧交⊙O于A.
解答:解:(1)滿足.(2分)證明如下:
連接DC
∵D是弧BC的中點
∴∠BAE=∠DAC(4分)
∵∠ABE=∠ADC(5分)
∴△ABE∽△ADC(7分)

即AB•AC=AE•AD(9分)

(2)A可在弦BC的垂直平分線與⊙O的交點上(10分);或以B為圓心,以BC為半徑作弧交⊙O于A(11分)
理由如下:若AD垂直平分BC,則弧AB=弧AC,所以AB=AC,這時△ABC為等腰三角形;
若以B為圓心,以BC為半徑作弧交⊙O于A,則AB=BC,這時△ABC為等腰三角形.(13分)
點評:本題考查相似三角形的判定和性質(zhì),及等腰三角形的判斷,圓心角、弧、弦的關系等知識點的綜合運用.
練習冊系列答案
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甲種食物乙種食物丙種食物
維生素A(單位/kg) 400600400
維生素B(單位/kg)800200400
成本(元/kg) 9128
某人欲將三種食物混合成100千克的混合物,設所用的甲、乙、兩三種食物的分量依次為x、y、z(千克).
(1)試以x、y表示z;
(2)試以x、y表示混合物的成本P;
(3)若要求混合物至少含有44000單位的維生素A及48000單位的維生素B,限定混合食品中甲種食物的質(zhì)量為40千克,試求此時總成本的取值范圍P的取值范圍,并確定當P取最小值時,可取乙、丙兩種食物的質(zhì)量.

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