Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象開口向下，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B，頂點(diǎn)A在直線y=x上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）證明：△AOB是等腰直角三角形；
（2）若△AOB的外接圓C的半徑為1，求該二次函數(shù)的解析式；
（3）對題（2）中所求出的二次函數(shù)，在其圖象上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），使得△POC是以PC為腰的等腰三角形，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可過A作x軸的垂線，設(shè)垂足為D，由于A是拋物線的頂點(diǎn)，因此A點(diǎn)必在OB的垂直平分線上，而A點(diǎn)在直線y=x上，則AD=OD=BD，由此可證得△AOB是等腰直角三角形；
（2）由（1）知△AOB是等腰Rt△，則其外接圓圓心即為OB的中點(diǎn)，此時(shí)C、D重合，若外接圓半徑為1，那么OC=BC=AC=1，由此可求得A、B的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）若以等腰三角形POC以PC為腰，那么有兩種情況：
①以PC、CO為腰，那么PC=CO，則此時(shí)P與A或B重合，當(dāng)P、A重合時(shí)，與題意不符；當(dāng)P、B重合時(shí)，不能構(gòu)成三角形POC，所以此種情況不存在；
②以O(shè)P、CP為腰，那么P點(diǎn)必在OC的垂直平分線上，由此可確定P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可根據(jù)拋物線的解析式求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵點(diǎn)A在直線y=x上，
∴設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m）
過點(diǎn)A作AD⊥x軸，交x軸于點(diǎn)D，
∵點(diǎn)A是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，
∴直線AD是其對稱軸，
∴點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)．
∴OD=DB=AD，
∴△AOB是等腰直角三角形．

（2）若△AOB的外接圓半徑為1，則OC=BC=AC=1；
∴A（1，1），B（2，0）；
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+1，則有：
a×（2-1）²+1=0，a=-1；
∴拋物線的解析式為y=-（x-1）²+1；

（3）存在，點(diǎn)P（）；
此題要分兩種情況：
①等腰△POC以CO、PC為腰，此時(shí)C與A、B重合，顯然此種情況不符合題意；
②等腰△POC以PO、PC為腰，此時(shí)P點(diǎn)在CO的垂直平分線上，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；
代入拋物線的解析式中，得：y=-（-1）²+1=；
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），
綜合上述兩種情況可知，存在符合條件的P點(diǎn)，且P（，）．
點(diǎn)評：此題主要考查了等腰直角三角形的判定、二次函數(shù)解析式的確定以及等腰三角形的構(gòu)成情況等重要知識．需注意的是（3）題在不確定等腰三角形另一腰的情況下腰分類討論，以免漏解．