Question

一只螞蟻在一塊長方體的一個頂點A處，一粒食物在這個長方體上和螞蟻相對的C₁處（如圖），螞蟻想要沿著長方體的表面爬到C₁處得到食物，有無數(shù)條路線，它們有長有短，如果長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，BC=b，CC₁=c，且a＞b＞c，螞蟻究竟沿怎樣的路線爬上去，所經(jīng)過的距離最短？

Answer 1

分析：將長方體展開，得到三種較短路徑，找出三種路徑中最短的即可．

解答：解：（1）如圖（1），AC₁=

AC2+ CC 2 1

=

(a+b)2+c2

=

a2+b2+c2+2ab

①．

（2）如圖（2），AC₁=

AD2+ DC 2 1

=

(a+c)2+b2

=

a2+b2+c2+2ac

②．

（3）如圖（3），AC₁=

AB2+ BC 2 1

=

(b+c)2+a2

=

a2+b2+c2+2bc

③．

∵a＞b＞c，
∴2ab＞2ac＞2bc，
∴①＞②＞③．
故螞蟻沿圖三中路線爬上去，所經(jīng)過的距離最短．

點評：此題結合最短距離問題，考查了“兩點只間線段最短”和勾股定理，解答過程要用到分類討論思想．