Question

【題目】如圖，邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，△ABE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△ADF，延長BE交DF于點(diǎn)G，若AE＝3，FG＝．

（1）指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度；

（2）求證：BG⊥DF；

（3）求線段GE的長．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）見解析；（3）﹣5

【解析】

（1）根據(jù)圖形和已知的△ABE旋轉(zhuǎn)得到△ADF即可得出答案；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠F＝∠AEB，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；

（3）由勾股定理可求BE的長，再由勾股定理可求BG的長，即可求GE的長．

（1）旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)角度是90°；

（2）∵△ADF是由△ABE旋轉(zhuǎn)得到，

∴△ADF≌△ABE，

∴∠F＝∠AEB，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DAB＝90°，

∴∠AEB+∠ABE＝90°，

∴∠F+∠ABE＝90°，

∴∠FGB＝90°，

∴BG⊥DF；

（3）∵正方形ABCD的邊長是4，

∴AB＝4，

∴在Rt△ABE中，BE＝＝5，

∵AF＝AE＝3

∴FB＝AF+AB＝7，

∴在Rt△FBG中，BG＝，

∴GE＝BG﹣BE＝﹣5．