Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D在AB上，且CD＝CB，點E為BD的中點，點F為AC的中點，連結(jié)EF交CD于點M．

（1）求證：EF＝AC．

（2）連接AM，若∠BAC＝45°，AM+DM=15，BE=9，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CE=12.

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE⊥BD，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF= AC；

（2）連接AM，證得△AEC是等腰直角三角形，EF垂直平分AC，AM=CM，則BC=AM+DM=15，在Rt△BEC中，利用勾股定理可得出CE的長。

（1）證明：

∵CD=CB，點E為BD的中點，
∴CE⊥BD，

∴∠AEC＝90°,

∵在Rt△AEC中，點F為AC的中點，
∴EF=AC；

(2)如圖，連接AM，

∵∠BAC=45°，CE⊥BD，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∵點F為AC的中點，
∴EF垂直平分AC，
∴AM=CM，
∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，
∴BC=AM+DM=15，

∵BE=9，

在Rt△BEC中，

.