Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，-2），以點A為圓心、AO為半徑畫圓，直線y=-x+4與x軸、y軸分別交于B、C兩點，點E是x軸上的一個動點．
（1）求B、C兩點的坐標；
（2）直線CE與⊙O有哪幾種位置關系？
（3）當直線CE是⊙O的切線時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）對于y=-x+4，令y=0，則x=4；令x=0，則y=4，即可得到B點和C點坐標；
（2）根據(jù)直線與圓的三種位置關系進行回答；
（3）分類討論：設直線CE與⊙O相切于點P（點P在第四象限），交x軸于點E，連接AP，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AP⊥CP，先得到OC=4，OA=2，再利用勾股定理計算出PC=4，根據(jù)相似三角形的判定方法得到Rt△COE∽Rt△CPA，則OE：PA=OC：CP，即OE：2=4：4，可求出OE=，E點坐標為（，0），當⊙O的切線為CP′，P′為切點，CP′與x軸的交點為E′，然后根據(jù)切線長定理得到
CO垂直平分EE′，則點E′的坐標為（-，0），即可得到滿足條件的點E的坐標為（，0），（，0）．
解答：解：（1）在直線y=-x+4中，
令y=0，則x=4，
∴點B的坐標為（4，0），
令x=0，則y=4，
∴點C的坐標為（0，4）；

（2）直線CE與⊙O有相離、相切、相交三種位置關系；

（3）設直線CE與⊙O相切于點P（點P在第四象限），交x軸于點E，連接AP，如圖，則AP⊥CP，
∵點C的坐標為（0，4），A點坐標為（0，-2），
∴OC=4，OA=2，
在Rt△CAP中，AC=OA+OC=6，AP=OA=2，PC==4，
∵∠ECO=∠ACP，
∴Rt△COE∽Rt△CPA，
∴OE：PA=OC：CP，即OE：2=4：4，
∴OE=，
∴E點坐標為（，0），
當⊙O的切線為CP′，P′為切點，CP′與x軸的交點為E′，則CA平分∠PCP′，則CO垂直平分EE′，則點E′的坐標為（-，0），
∴點E的坐標為（，0），（，0）．
點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)定理、切線長定理和直線與圓的位置關系等是解決圓的綜合題的關鍵；運用相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理是解決幾何計算常用的方法；對于綜合題一般采用各個擊破的方式解決．