Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax²＋bx＋3的頂點為M（2，－1），交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，其中點B的坐標為（3，0）.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設(shè)經(jīng)過點C的直線與該拋物線的另一個交點為D，且直線CD和直線CA關(guān)于直線BC對稱，求直線CD的解析式；

（3）在該拋物線的對稱軸上存在點P，滿足PM²＋PB²＋PC²＝35，求點P的坐標.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）P（2，－2）或（2，）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線頂點為M（2，－1），可設(shè)拋物線的解析式為線，再把點B（3，0）代入即可求得結(jié)果；

（2）先求得拋物線與y軸的交點坐標，可得∠ABC=45°，過點B作BN⊥x軸交CD于點N，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠ACB=∠NCB，再結(jié)合公共邊CB可得△ACB≌△NCB，即可得到BN=BA，根據(jù)拋物線的對稱性求得點A的坐標，即可得到點N的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得結(jié)果；

（3）設(shè)P（2，p），先根據(jù)勾股定理表示出PM、PB、PC，再根據(jù)PM²＋PB²＋PC²＝35即可得到關(guān)于p的方程，解出即可.

（1）∵拋物線y＝ax²＋bx＋3的頂點為M（2，－1），

∴設(shè)拋物線的解析式為線

∵點B（3，0）在拋物線上，∴，解得

∴該拋物線的解析式為，即；

（2）在中，令x=0，得

∴C（0，3）

∴OB=OC=3 

∴∠ABC=45

過點B作BN⊥x軸交CD于點N，

則∠ABC=∠NBC=45°

∵直線CD和直線CA關(guān)于直線BC對稱，

∴∠ACB=∠NCB

又∵CB=CB，

∴△ACB≌△NCB

∴BN=BA

∵A，B關(guān)于拋物線的對稱軸x=2對稱，B（3，0），

∴A（1，0）

∴BN=BA=2 

∴N（3，2）

設(shè)直線CD的解析式為，

∵C（0，3），N（3，2）在直線CD上，

∴，解得

∴直線CD的解析式為；

（3）設(shè)P（2，p）

∵M（2，－1），B（3，0），C（0，3）

∴

∵PM²＋PB²＋PC²＝35

∴

整理得

解得

∴P（2，－2）或（2，）.

考點：二次函數(shù)的綜合題

點評：解答本題的關(guān)鍵是注意當拋物線中出現(xiàn)了頂點坐標時，拋物線的解析式一般設(shè)為頂點式.